静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场.ppt

{9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场(1)一均匀带电球面，半径为一均匀带电球面，半径为R，带电量为，带电量为Q，求电荷产生的电场强，求电荷产生的电场强度和电势如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电度和电势如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电场强度和电势场强度和电势2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为分别为R0和和R，带电量为，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？[](1)如图所示，不论球面还是球体，由于电如图所示，不论球面还是球体，由于电荷分布具有球对称性，所激发的电场也是荷分布具有球对称性，所激发的电场也是球对称的，用高斯定理求解比较简单球对称的，用高斯定理求解比较简单设设Q > 0，不论场点在球内还是，不论场点在球内还是在球外，由于对称的缘故，电场在球外，由于对称的缘故，电场线都沿着球心到场点的连线线都沿着球心到场点的连线对于球外的点对于球外的点P1，以，以O为球心，过为球心，过P1点作一个半径点作一个半径r的高斯球面的高斯球面S1。

在在P1点取一个面积元点取一个面积元dS，其法线方向与场强方，其法线方向与场强方向一致，通过该面积元的电通量为向一致，通过该面积元的电通量为dΦE = E·dSS1rEP1rORQ{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场通过高斯面的电通量为通过高斯面的电通量为= E4πr2高斯面所包围的电量为高斯面所包围的电量为Q，，根据高斯定理根据高斯定理ΦE = Q/ε0，，可得场可得场强大小强大小当当Q > 0时，场强的方向沿着径向向外；时，场强的方向沿着径向向外；当当Q < 0时，场强的方向沿着径向向内时，场强的方向沿着径向向内r > R) ES2P2rS1EP1rORQdΦE = E·dS对于球面内的点对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯，同样作高斯面，高斯面内面内Q = 0，根据高斯定理得，根据高斯定理得E = 0 (r < R) 可见：在均匀带电球面内，场强为零；在可见：在均匀带电球面内，场强为零；在均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部集中在球心处的点电荷所激发的场强相同集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。

在球的外表面，在球的外表面，场强大小为场强大小为可见：球面内外可见：球面内外的场强发生跃变的场强发生跃变{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场取无穷远处的电势为零，取一条从取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始开始的电场线作为积分路径，则的电场线作为积分路径，则P1的电势为的电势为当当r = R时，球壳时，球壳外表面的电势为外表面的电势为(r > R) 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同E = 0 (r < R)取一条从取一条从P2开始的电场线作为积分路径，则开始的电场线作为积分路径，则P2的电势为的电势为球面内任何一点的电势都与表面的球面内任何一点的电势都与表面的电势相同，球内空腔是一个等势体电势相同，球内空腔是一个等势体r > R) (r < R)球面所有电荷到球面所有电荷到球心的距离都是球心的距离都是R，球面的电势，球面的电势就是所有电荷在就是所有电荷在球心产生的电势球心产生的电势ES2P2rS1EP1rORQ对于均匀带电球体，球体外对于均匀带电球体，球体外的电场强度和电势与均匀带的电场强度和电势与均匀带电球面的公式是相同的。

电球面的公式是相同的在球体内取一个高斯面，在球体内取一个高斯面，高斯面内有电荷，并且电高斯面内有电荷，并且电荷的体密度处处相等荷的体密度处处相等球体的全部体积为球体的全部体积为VR=4πR3/3，，电荷的体密度为电荷的体密度为ρ = Q/VR，，高斯面内的体积为高斯面内的体积为Vr = 4πr3/3，，高斯面内的电量为高斯面内的电量为q = ρVr = QVr/VR = Qr3/R3，，根据高斯定理得方程根据高斯定理得方程ΦE = E4πr2 = q/ε0，，球体内球体内场强为场强为(r < R) 球心处的场强为零，球内场强与半径成正比球心处的场强为零，球内场强与半径成正比在在r = R处处，，场强有场强有场强在球面上的场强在球面上的变化是连续的变化是连续的 取一条从取一条从P2开始的电场线作开始的电场线作为积分路径，则为积分路径，则P2的电势为的电势为均匀带电球体不均匀带电球体不是等势体，球心是等势体，球心处的电势最高处的电势最高{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场球面内部的场强为零，球面外球面内部的场强为零，球面外部场强随距离的增加而减小。

部场强随距离的增加而减小在球面的内外表面，在球面的内外表面，电场强度不连续电场强度不连续均匀带电球面内外的电势是连续均匀带电球面内外的电势是连续的，球面内电势是一个常量，球的，球面内电势是一个常量，球面外电势随距离的增加而减小面外电势随距离的增加而减小球体内场强与距离成正比，球体球体内场强与距离成正比，球体外的电场强度与球面外电场强度外的电场强度与球面外电场强度的变化规律是相同的；在球的内的变化规律是相同的；在球的内外表面，电场强度是连续的外表面，电场强度是连续的均匀带电球体中心的电势最高，均匀带电球体中心的电势最高，球体内的电势随距离的增加而加球体内的电势随距离的增加而加速减小，球体外电势与球面外电速减小，球体外电势与球面外电势的变化规律是相同的势的变化规律是相同的{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和和R，带电量为，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？根据高斯定理可先求根据高斯定理可先求电场强度，再求电势。

电场强度，再求电势反过来，利用均匀带电球体的电反过来，利用均匀带电球体的电势先求球壳的电势，再求电场势先求球壳的电势，再求电场均匀带电球体的电量与均匀带电球体的电量与电荷体密度的关系为电荷体密度的关系为球体外部的电势用球体外部的电势用电荷密度表示为电荷密度表示为(r > R)球体内部的电势用电荷密度表示为球体内部的电势用电荷密度表示为(r < R)其中其中ε0 = 1/4πk，称为真空介电常数，称为真空介电常数AOR0BRrArBCrC{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场如图所示，如图所示，A、B、C三点代表三个区域三点代表三个区域均匀带电球壳的均匀带电球壳的电荷体密度为电荷体密度为(r > R)在球壳的空腔中同时填充两个半径为在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为，电荷体密度为ρ和和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和和R0，，电荷体密度分别为电荷体密度分别为ρ和和-ρ的均匀带电体球产生的的均匀带电体球产生的r < R)A点在两个球体之内，正点在两个球体之内，正负电荷球产生的电势为负电荷球产生的电势为A点的点的电势为电势为空腔内的电势为常量。

空腔内的电势为常量A点的场强大小为点的场强大小为(r ≤ R0)AOR0BRrArBCrC{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场B点在正电荷球体之内，负电荷球体点在正电荷球体之内，负电荷球体之外，正负电荷球产生的电势为之外，正负电荷球产生的电势为(r > R)(r < R)B点的点的电势为电势为当当r = R0时，时，B点的电势为点的电势为这正好是空这正好是空腔中的电势腔中的电势R0 ≤ r ≤ R)B点的场强大小为点的场强大小为AOR0BRrArBCrC{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场C点在正负电荷球体之外，点在正负电荷球体之外，正负电荷球产生的电势为正负电荷球产生的电势为(r > R)(r < R)C点的点的电势为电势为(R ≤ r)C点的场强大小为点的场强大小为可见：可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的AOR0BRrArBCrC{范例范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场均匀带电球面、球体和球壳的电场(R ≤ r)①①当当R0 = 0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。

时，空腔缩为一点，球壳就变成球体A点点(球心球心)的电势为的电势为EA = 0 (r ≤ R0)(R0 ≤ r ≤ R)[讨论讨论](r = 0)B点的点的电势为电势为B点的场强点的场强大小为大小为(0 ≤ r ≤ R)当当r = 0时，时，UB = UA，EB = EA = 0②②当当R0→R时，球时，球壳就变成球面壳就变成球面A点的点的电势为电势为B点的电势点的电势UB→UA不妨取球壳内半径与外半径之比为不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5空腔内的场强为零，球壳内的空腔内的场强为零，球壳内的场强随距离增加而增强，球壳场强随距离增加而增强，球壳外的场强随距离的增加而减小外的场强随距离的增加而减小在球壳的内在球壳的内外表面，电外表面，电场强度是连场强度是连续的空腔内的电势是常数，球壳中的电空腔内的电势是常数，球壳中的电势随距离的增加而加速减小，球壳势随距离的增加而加速减小，球壳外电势随距离的增加而减速减小外电势随距离的增加而减速减小。