134最短路径问题.ppt

13.4 课题学习课题学习最短路径问题最短路径问题 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择，你会选地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短①②③温故知新 引例：引例：要在河边修建一个泵站向张村引水，要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？么？ 垂线段最短张村河流泵站 如图，在小河如图，在小河l的两侧有的两侧有A村和村和B村，要在小村，要在小河河l上修一个水泵站上修一个水泵站M,请你确定水泵站请你确定水泵站M的位的位置，使它到两个村庄的距离和最小置，使它到两个村庄的距离和最小.ABl作法：连结作法：连结AB，交直线，交直线l于点于点M，则，则点点M为水泵站的位置为水泵站的位置M 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于““两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短””、、““连接直线外一点与直线上各点连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短的所有线段中，垂线段最短””等等的问题，我们称它们为的问题，我们称它们为最短路径最短路径问题问题．现实生活中经常涉及到选．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。

择最短路径的问题　　　　问题问题1从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的地出发，到一条笔直的河边河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？马可使他所走的路线全程最短？探索新知探索新知BAlC你能将这个问题抽象你能将这个问题抽象为数学问题吗？为数学问题吗？探索新知探索新知将将A，，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一抽象为一条直线．条直线． B··Al 设设C 为直线上的一个动点，上面的问题就为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小．的和最小． 探索新知探索新知B··Al 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的是直线上的一个动点，当点一个动点，当点C 在在l 的什的什么位置时，么位置时，AC 与与CB的和的和最小？最小？思考思考: :1 1、这个问题与前面、这个问题与前面““确定水泵位置确定水泵位置””的问题有联系吗？的问题有联系吗？2 2、、如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B′处，满足处，满足直线直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB′的长的长度相等？度相等？ 3 3、你能找到符合条件的点、你能找到符合条件的点B′′吗？吗？ 探索新知探索新知作法：作法：（（1）作点）作点B 关于关于直线直线l 的对称点的对称点B′′；；（（2）连接）连接AB′′，与直线，与直线l 相交于点相交于点C．则点．则点C 即为即为所求．所求． B·lA·B′C你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？　　　　若直线若直线l 上任意一点（与上任意一点（与点点C 不重合）与不重合）与A，，B 两点两点的距离和都大于的距离和都大于AC + +BC，，就说明就说明AC + + BC 最小．最小． 探索新知探索新知　　　追问：证明　追问：证明AC + +BC 最短时，为什么要在最短时，为什么要在直线直线l 上任取一点上任取一点C′′（与点（与点C 不重合），证不重合），证明明AC + +BC ＜＜AC′+′+BC′′？这里的？这里的““C′′””的的作用是什么？作用是什么？ B·lA·B′′CC′运用新知运用新知　　　　1.1.如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前处前往山脚下的往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河处接游客，然后将游客送往河岸岸BC 上，再返回上，再返回P 处，请画出旅游船的最处，请画出旅游船的最短路径．短路径．ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥2.已知：如图已知：如图A是锐角是锐角∠∠MON内部任意一内部任意一点，在点，在∠∠MON的两边的两边OM，，ON上各取一上各取一点点B，，C，组成三角形，使三角形周长最，组成三角形，使三角形周长最小小.变式：变式：在角内有两点在角内有两点A、、B，在射线，在射线OM、、ON上分别求一点上分别求一点C、、D，使线段，使线段AC、、CD、、DB的和最小。

的和最小B(Ⅰ)(Ⅰ)两点在一条直线异侧两点在一条直线异侧(Ⅲ)(Ⅲ)一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部(Ⅱ) (Ⅱ) 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧小结小结三种类型三种类型复习复习 1、平移的概念、平移的概念 图形的平行移动就是平移变换，简称图形的平行移动就是平移变换，简称作平移作平移. . 2、平移的性质、平移的性质（（1 1）把一个图形整体沿某一）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同的形状和大小完全相同. .（（2 2）新图形中的每一点，都是由原图形中的）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行（或在同一直线连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等上）且相等. .对应线段相等，对应角相等对应线段相等，对应角相等引例：引例：如图，小明从小河岸边的如图，小明从小河岸边的A地到河的地到河的对面的对面的B地地,怎样走距离最近？（只能从桥上怎样走距离最近？（只能从桥上过河）过河） 方法：方法：小明过桥走到小明过桥走到C，连接，连接CB，小明走的，小明走的路径和是路径和是AC＋＋CB，此时所走路经最短，此时所走路经最短.理由：理由：AC确定不变，确定不变，C和Ｂ之间由和Ｂ之间由“两点之两点之间，线段最短间，线段最短”可知可知CB最短最短.B桥桥小小 河河CA问题问题2 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥要在河上造一座桥MN。

桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）平行的直线，桥要与河垂直）MN分析：分析：由于河岸宽度由于河岸宽度是固定的，造的桥要是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径与河垂直，因此路径AMNB中的中的MN的长的长度是固定的要使路度是固定的要使路径径AMNB最短，只需最短，只需AM+BN最短 A1 分析：分析：我们可以将点我们可以将点A沿与河垂直的方向平移沿与河垂直的方向平移MN的距离到的距离到A1，那么为了使，那么为了使AMNB最短，只最短，只需需A1B最短根据两点之间距离最短，连接最短根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点，交河岸于点N，在此处造桥，在此处造桥MN，所得路，所得路径径AMNB就是最短路径就是最短路径 NMA1NM M1N1证明：证明：另任作桥Ｍ另任作桥Ｍ１１ＮＮ１１，连接ＡＭ，连接ＡＭ１１，ＢＮ，ＢＮ1 1ＡＡ１１ＮＮ１１. . 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ1 1Ｎ，Ｎ，ＡＡＡＡ１１＝ＭＮ＝Ｍ＝ＭＮ＝Ｍ１１ＮＮ１１，，ＡＭＡＭ１１＝Ａ＝Ａ１１Ｎ１Ｎ１. . AM+MN+BN=AM+MN+BN=ＡＡＡＡ１１＋Ａ＋Ａ１１Ｂ，Ｂ，而ＡＭ而ＡＭ１１＋Ｍ＋Ｍ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１ = =ＡＡＡＡ１１＋Ａ＋Ａ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１. . 在在△△ＡＡ１１ＮＮ１１Ｂ中，由线段公理知Ｂ中，由线段公理知A A1 1N N1 1+BN+BN1 1＞＞A A1 1B B，因此ＡＭ，因此ＡＭ１１＋Ｍ＋Ｍ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１ ＞＞ AM+MN+BNAM+MN+BN即即从从A到到B的路径的路径AMNB是最短的。

是最短的 1、直线、直线L的同侧有两点的同侧有两点A、、B，，在直线在直线L上求两点上求两点C、、D，使得，使得AC、、CD、、DB的和最小，且的和最小，且CD的长为定的长为定 值值a，点，点D在点在点C的右侧 A1作法：作法：①①将点将点A向右平移向右平移a个个单位到单位到A1；；②②作点作点B关于直线关于直线L的对称点的对称点B1；；③③连结连结A1B1交交直线直线L于点于点D；；④④过点过点A作作AC∥ ∥A1D交直线交直线L于点于点C，连结，连结BD则线段AC、、CD、、DB的的和最小点和最小点C、、D即为所求即为所求 B1DC运用新知运用新知2、直线、直线L的同侧有两点的同侧有两点A、、B，在直线，在直线L上上求一点求一点C，使，使CB与与CA的差最大的差最大 C分析：分析：在我们所学过的知识中，哪个知在我们所学过的知识中，哪个知识点与两条线段的差有关系？识点与两条线段的差有关系？三角形任意两边的差小于第三边三角形任意两边的差小于第三边C作法：作法：连连BA，并延长交直线，并延长交直线L于点于点C，则点，则点C即为所求。

即为所求追问：追问：在如图所示的位置，在如图所示的位置，AC与与BC的差小于的差小于AB，会有，会有AC与与BC的差等于的差等于AB的时候吗？的时候吗？C’。