2024年中考数学压轴题突破二次函数与相似问题（学生版）.pdf
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专题4二次函数与相似问题考法综述，函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解方法揭秘._/相似三角形常见的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型 和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.判 定 定 理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验.如果已知乙4=4探求 4 8。
与 下相似，只要把夹乙4 和乙的两边表示出来，按照对应边成比例，分 丝=匹 和 必=竺两种情况列方程.AC DF AC DE应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组).还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.典例剖析.X,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/【例 1】(2 0 2 2 贵港)如图，已知抛物线y=3+及+0 经过/(0,3)和 2(工，-旦)两 点，直线N 32 4与X轴相交于点C,P是直线A B上方的抛物线上的一个动点，P D V x轴交A B于点D.(1 )求该抛物线的表达式；(2 )若PE/x轴交A B于点,求P D+P E的最大值；(3)若以N,P,为顶点的三角形与/O C 相似，请直接写出所有满足条件的点尸，点的坐标.【例 2】(2 0 2 2 衡阳)如图，已知抛物线y =x 2-x-2 交 x轴于/、2两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象犷，图象少交y轴于点C(1)写出图象少位于线段上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=-x+6 与图象少有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点P作尸河y轴交直线3c于 点 交 图 象 少 于 点 N,是否存在这样的点尸，使 C N N 与 O B C 相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例 3】(2022桂林)如图，抛物线y=-，+3+4 与 x 轴交于/,8 两 点(点/位 于 点 3 的左侧)，与y 轴交 于。
点，抛物线的对称轴I与 x 轴交于点N,长 为 1 的线段尸点尸位于点Q的上方)在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动.(1)直接写出4 B,C 三点的坐标；(2)求C P+P Q+Q B的最小值；(3)过点尸作P M L y轴 于 点 跖 当 C P M和 Q 2 N 相似时，求 点的坐标.【例 4】(2022玉林)如图，已知抛物线：y=-2/+bx+c与 x 轴交于点4,B(2,0)(/在 3 的左侧)，与了轴交于点C,对称轴是直线x=/,P 是第一象限内抛物线上的任一点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点的中点，则尸能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P 作 x 轴 的 垂 线 与 线 段 交 于 点 垂 足 为 点 ，若以尸，M,C 为顶点的三角形与 加“相似，求点P 的坐标.备用图满分训练._ _ _ _ _ _ _ _ _ _-1.(2020秋兴城市期末)如图，抛物线歹=6 2+6 4 经过/(4,0),B(-1,0)两点，与了轴交于点C,为第一象限抛物线上的动点，连接/C,BC,DA,DB,与/C 相交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)如 图 1,设乙4D E 的面积为Si,2C E的面积为S2,当 Si=&+5时，求点D 的坐标；(3)如图2,过 点 C 作 CFx 轴，点 M 是直线CF上的一点，J W,C尸交抛物线于点N,是否存在以C,M,N 为顶点的三角形与BC。
相似？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.图1图2(2)如 图 1,若点是抛物线上在第四象限的点，连接D4并延长，交丁轴于点尸，过点作s轴于点E 当/尸与/的 面 积 比 为 冷 些=工 时.求 点 D的坐标；SAADE 4(3 )如图2,抛物线与y轴相交于点F.若 点Q是线段下上的动点,过 点作与x 轴平行的直线交抛物线于M,N两 点(点 M 在点N的左边).请问是否存在以A,M 为顶点的三角形与附 相 似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2 0 2 0 秋长垣市期末)如图1,抛物线y =/：2+6 x+c 与 x 轴、y轴分别交于点2 (6,0)和点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式；(2)点 尸 是 直 线 下 方 抛 物 线 上 一 动 点，其横坐标为加，连接尸3、P C,当 的 面 积 为 0 时，2求m值；(3)如图2,点 M 是线段03上的一个动点，过点M作 x 轴的垂线/分别与直线BC和抛物线交于两点，是否存在以C,D,E为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4.(2 0 2 1秋邹城市期末)如图，已知抛物线y =/+2 x 的顶点为/,直线y =x+2 与抛物线交于瓦C两点.(1)求 4 B,C三点的坐标；(2)作 C D _ L x 轴于点。
求证：O D C 7 4 B C;(3 )若点P为抛物线上的一个动点，过点尸作PM x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点，使 以P,M 为顶点的三角形与/B C 相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说5.(2 0 2 1秋攸县期末)如图，已 知 直 线 尸-2 x+4 分别交x 轴、y轴于点N、B,抛物线过N,3两点，点产是线段48上一动点，过点P作 尸 轴 于 点 C,交抛物线于点D(1)若抛物线的解析式为y=-2X2+2X+4,设 其 顶 点 为 其 对 称 轴 交 N3于点N.求点M和点N的坐标；在抛物线的对称轴上找一点使的值最大，请直接写出点的坐标；是否存在点尸，使四边形M N P为菱形？并说明理由；(2 )当点尸的横坐标为1 时，是否存在这样的抛物线，使得以3、P、为顶点的三角形与 N O B 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.6.(2 0 2 2 禹城市模拟)如图，抛物线经过/(4,0),B(1,0 ),C (0,-2 )三点.(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过尸作 Mix轴，垂足为例，是否存在夕点，使得以/,P,M 为顶点的三角形与 O N C 相似？若存在，请求出符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由；(3 )若抛物线上有一点D (点、D位于直线A C的上方且不与点B重合)使得SDCA=S/BC,直接写出点D的坐标.7.(2 0 2 2 祥云县模拟)如图，已 知 抛 物 线+以+c 过点4 (-1,0 ),5(3,0 ),交 y轴于点C(0,3 ),点 M 是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点,交线段3C于点。
轴，交 y轴于点N.(1)求抛物线y =a +b x+c 的表达式；(2 )若四边形M N O E是正方形，求该正方形的边长；(3)连结A C,抛 物 线 上 是 否 存 在 点 使 得 以 C,O,为顶点的三角形与 A B C 相似，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.8.(2022松江区校级模拟)如图，抛物线/-反+c 过点2(3,0),C(0,-3),为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC,CD,D B,求 乙 的 正 切 值；(3)点 C 关于抛物线y=x2-bx+c对称轴的对称点为 点，连接B E,直线BE与对称轴交于点M,在(2)的条件下，点尸是抛物线对称轴上的一点，是否存在点尸使CA8和BMP相似，若存在，求点尸坐标，若不存在，请说明理由.9.(2022平江县一模)如图，抛 物 线 产 小+区+8 与 x 轴交于/(-2,0)和点8(8,0),与y 轴交于点C,顶点为D,连接/C,BC,8 C 与抛物线的对称轴/交于点.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点尸是第一象限内抛物线上的动点，连接尸2,P C,设四边形尸2 0 C 和/O C 的面积分别为S 四 边形 PBOC和SAAO C,记 S=S 四 边 形 PBOC-SAOC,求S最大值点P的坐标及S的最大值；(3)点 N 是对称轴I右侧抛物线上的动点,在射线E D上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与3 0 C 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.(备用图)10.(2022莱州市一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=L/+c 经过点/(4,3),顶点为点3,点尸为抛物线上的一个动点，/是过点(0,-2)且垂直于y轴的直线，连接尸。
1)求抛物线的表达式，并求出顶点3的坐标；(2 )试证明：经过点O的尸与直线/相切；(3)如图，已知点的坐标为(1,2),是否存在点尸，使得以点P,及(2)中的切点为顶点的三角形与/3 C 相似？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.11.(2 0 2 2 巩义市模拟)已知，二次函数夕=a+bx-3的图象与x轴交于/,3两 点(点/在 点B的左边),与V轴交于C点，点/的 坐 标 为(-1,0),且 O 3 =OC(1)求二次函数的解析式;(2)当 0WxW4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少?(3 )设 点与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使 P C C 与尸03相似，且PC与 是 对 应 边？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.12.(2022澄迈县模拟)在平面直角坐标系中，抛物线经过点/(-2,0),5(-3,3)及原点顶点为C.(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C 的坐标；(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为在图1 中，当-3 v f 0 时，求P2的面积S 与/的函数关系式，并求S 的最大值；在图2 中，若点P 在该抛物线上，点 E 在该抛物线的对称轴上，且以/,O,P,为顶点的四边形是平行四边形，求点尸的坐标；在图3 中，若 P 是 y 轴左侧该抛物线上的动点，过 点 尸 作 尸 轴，垂 足 为 是 否 存 在 点 P 使得以点尸，/为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.13.(2022丰南区二模)如图、，在平面直角坐标系中，一边长为2 的等边三角板CDE恰好与坐标系中的 0 4 8 重合，现将三角板C D E 绕边N8的中点G(G 点 也 是 的 中 点)，按顺时针方向旋转1 8 0。
2)点 P 在第四象限的抛物线上，求O P 的最大面积；(3)如图，O G 是以N2为直径的圆，过 2点作O G 的切线与x 轴相交于点尸，抛物线上是否存在一点 监 使 得 8 0 尸与相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1 4.(2 0 2 2 莱芜区三模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数=-x+3 的图象与x轴交于点/,与y轴交于点B,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A和点C (0,-3).(1 )求二次函数的表达式;(2 )如 图 1,平移线段/C,点A的对应点D落。
