姜启源编《数学模型》第四版_第三章简单的优化模型.ppt

第三章 简单的优化模型 --静态优化模型3.1 存贮模型3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火3.4 消费者的选择3.5 生产者的决策3.6 血管分支3.7 冰山运输• 现实世界中普遍存在着优化问题.• 建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数.• 求解静态优化模型一般用微分法.• 静态优化问题指最优解是数(不是函数).简单的优化模型(静态优化)3.1 存贮模型 问 题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要 求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考• 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.• 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.• 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数——每天总费用的平均值.• 周期短，产量小• 周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模 型 假 设1. 产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建 模 目 的设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模 型 建 立0tq 贮存量表示为时间的函数 q(t)TQ rt=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.一周期 总费用每天总费用平均 值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A =QT/2模型求解求 T 使模型解释定性分析敏感性分析参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相 对)敏感度 c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2c2或r增加1%, T减少0.5%经济批量订货公式（EOQ公式）• 用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)• 回答原问题c1=5000, c2=1，r=100每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.原模型假设：贮存量降到零时 Q件立即生产出来(或立即到货 ). 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.T周期T, t=T1贮存量降到零一周期总费用一周期 贮存费一周期 缺货费每天总费用 平均值 （目标函数）一周期总费用求 T ,Q 使为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T´, Q记作Q´.允许缺货的存贮模型不允许 缺货 模型记允许 缺货 模型不 允 许 缺 货允许 缺货 模型Oq QrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量 R （或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量) 存 贮 模 型• 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用.• 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑(习题1)? • 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(大于需求量的常数), 应作怎 样的改动(习题2)?3.2 生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.问 题市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售?如果估计和预测有误差，对结果有何影响?分 析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.求 t 使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元.建模及求解生猪体重 w=80+rt出售价格 p=8–gt销售收入 R=pw资金投入 C=4t利润 Q= R–C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t 天 出售=10Q(10)=660 > 640g=0.1=pw– 4t敏感性分析研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 估计r=2， g=0.1• 设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%. rt敏感性分析估计r=2， g=0.1研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. • 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%. gt强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由 S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算.研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 . w=80+rt w = w(t)p=8–gt  p =p(t) 若 (10%), 则 （30%） 每天收入的增值 每天投入的资金 利润3.3 森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题 分析问题记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.• 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题 分析失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度).2）t1tt2,  降为–x (为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 .假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四 周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比.面积 B与 t2 成正比dB/dt与 t 成正比模型建立bOt1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数——总费用模型求解求 x使 C(x)最小结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数其中 c1,c2,c3, t1,  ,为已知参数bOt1t2t模型 应用c1,c2,c3已知, t1可估计, c2  xc1, t1,    x c3 ,   x  结果 解释 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.为什么? ,可设置一系列数值由模型决定队员数量 x3.4 消费者的选择背景消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱， 选择购买若干种需要的商品. 根据经济学的一条最优化原理——“消费者 追求最大效用” ，用数学建模的方法帮助消 费者决定他的选择.• 假定只有甲乙两种商品供消费者购买，• 建立的模型可以推广到任意多种商品的情况.当消费费者购购得数量分别为别为 x1, x2的甲乙两种商品时时 ，得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为为效用函 数.效用函数 利用等高线线概念在x1, x2平面上画出函数u 的等值线值线 , u (x1, x2)=c 称为为等效用线线等效用线就是“ 实 物交换模型”中的 无差别曲线，效用 就是那里的满意度 . Ox2u(x1,x2) = cx1c增加——一族单调减、下凸、互不相交的曲线. 效用最大化模型 p1, p2~甲乙两种商品的单单价, y~消费费者准备备付出的钱钱 x1, x2 ~购购得甲乙两种商品数量QABy/p2y/p1···x1x2几何分析 x2u(x1,x2) = cx1Oc增加u(x1, x2) = c 单调减 、下凸、互不相交.在条件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函数u(x1, x2)最大. AB必与一条等效用线 相切于Q点 (消费费点).Q (x1, x2) 唯一.消费线AB模型求解引入拉格朗日 乘子λ构造函数与几何分析得到的 Q 一致等效用线线u (x1, x2)=c的斜率 消费线AB的斜率结果 解释效用函数的构造等效用线线u (x1, x2)=c 所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸 .• 解释条件中正负号的实际意义充分条件当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大. ~ 边际效用——商品数量 增加一个单位时效用的增量 效用函数u(x1,x2)几种常用的形式• 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根 成正比, 比例系数是参数α与β之比的平方根. • u(x1,x2)中参数 , 分别别度量甲乙两种商品对对消费费 者的效用，或者消费费者对对甲乙两种商品的偏爱爱 .• 购买两种商品费用之比只取决于λ,μ, 与价格无关.• u(x1,x2)中, 分别度量两种商品的效用或者偏爱.实际应用时根据对最优解的分析，决定采用 哪种效用函数，并由经验数据确定其参数.效用函数u(x1,x2)几种常用的形式效用最大化模型应用举例例1 征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法: • 销售税 ~ 根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 • 收入税 ~ 根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设设甲乙两种商品的单单价为为p1, p2，消费费者准备备花 的钱为钱为 y, 等效用线为线为 u (x1, x2)=c，消费费点为为Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1, x2) =cOx2x1l例1 征销售税还是征收入税 对甲商品征销售税, 税率为为p0 征税前的消费费点Q • 消费线费线 AB1, B1在B的左边边 • AB1与l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改为征 收入税 • 政府得到的销销售税额额 p0x1* • 征收的税额额与销销售税额额 p0x1*相同 • 消费线费线 A2B2与l2相切于Q2, 可证证B2在B1的右边边. l2在l1上？ l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函数值值将大于 Q1, 对对消费费者来说说征收入税比征销销售税好. 例2 价格补贴给生产者还是消费者 政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取 的两种价格补贴办法： • 把补贴款直接给生产者 • 把补贴款发给消费者而让商品涨价 ~鼓励商品生产,对消费者无影响 让让甲商品价格涨涨到p1+p0, 补贴补贴 消费费者多花的钱钱 p0 x1*,使仍达到消费费点Q lQABu (x1, x2) =cOx1x2l。