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第一讲：偏好、效用与消费者的根本问题5、常见的常替代弹性效用函数形式为请证明：5.1当，该效用函数为线性．证明：当时，效用函数为，此时，函数是线性的．5.2 当时，该效用函数趋近于说明：如果，该效用函数在时发散，如果，则函数在时极限为．5.3 当时，该效用函数趋近于证明：令，．则的一个单调变换结果是 ．当时，；同理，当时，有．当时，有．综上所述，当时，原效用函数描述的偏好关系趋近于所描述的偏好关系．如果与满足，则当时，同时有效用函数 ，趋近于以下效用函数．10、一个人的效用函数为，这里，．假定存在点解，请导出其马歇尔效用函数．解：此题的最大化问题为 其拉格朗日函数为．使最大化的，，满足一阶条件：， 〔1〕 ， 〔2〕 ． 〔3〕将1式除以2式，得，即； 〔4〕代4式入3式，得； 〔5〕代5式入4式，得． 〔6〕5与6式即为与的马歇尔需求函数．第二讲 间接效用函数与支出函数 3、考虑以下间接效用函数，这里表示收入，问：什么是该效用函数所对应的马歇尔需求函数与解：根据罗尔恒等式，可以得到这个效用函数所对应的马歇尔需求函数：， ．9、以下说法对吗.为什么.函数可以作为*种商品的希克斯需求函数．答：不对．因为这个函数中，希克斯替代效应10、以下函数能成为一个马歇尔需求函数吗.为什么.这里，与是两种商品，为收入．答：要具体分析．一般要求马歇尔需求函数满足〔1〕，以及〔1〕函数是和的零次齐次函数．很明显，该需求函数满足第二个条件．考虑第一个条件，如果能将定义在上，则该函数能对于所有的价格向量成为一个马歇尔需求函数；如果只能将定义在上，则它只能对于满足的价格向量成为一个马歇尔需求函数．第三讲 价格变化对消费者配置效应与福利效应4、 *个消费者的效用函数为．令，与分别表示商品1的价格、商品2的价格和收入．4.1 如果，，，现在上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应．解：令为商品1价格变化前的消费量，为变化后的消费量．有：，．令为调整收入以保持购置力条件下，对商品1的消费量．为为保持购置力对收入进展调整后得到的收入．有：， ．其中，斯拉茨基替代效应为，收入效应为．4.2 请根据计算，验证恩格尔加总规则．解：由4.1知，，，．因此 ，恩格尔加总规则成立．8 判断下述论断是否正确，并给出理由：8.1 如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的．判断：并不是所有直线上的弹性都是一样的．理由：一类线性需求曲线可以由，，来表示，它的弹性即，弹性是价格的函数，也就是说，这样的直线上需求价格弹性是随价格变化，不是一样的．但考虑与轴垂直的需求曲线，它的弹性就是不变的．最后考虑与轴水平的需求曲线，它们的弹性均为无穷大，无法比拟．8.2 如果对的需由的价格、的价格和收入决定的，则当的价格、的价格和收入都上涨一倍时，对的需求不变．判断：正确理由：考虑典型的预算约束表达式，其中、和分别为、的价格和收入．在这样的预算约束和一定的偏好下，消费者将选择一定的和的消费量．消费者的选择变化无非基于两个条件的变化，这两个条件就是选择集－预算约束和偏好．当的价格、的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为，它与表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下〔这是"如果对的需由的价格、的价格和收入决定的〞的含义〕，消费者的选择将不会发生变化，也就是说，对的需求不变．9、 判断对错并简要说明理由：和是一个消费者消费的两种物品，我们说是的替代品，如果，为的价格．如果是的替代品，则也是的替代品．答：按照替代品的定义，第一句正确．第二句错误．用斯勒兹基恒等式来分析，记为对的替代效应，为收入，有，和符号均为负，但每个式子中的收入效应是不确定的．因此，并不意味着一定成立．11、判断对错并简要说明理由：11.1 如果消费者是一个理性的效用最大化者，则他对*种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的．错．考虑完全互补偏好，相对价格变化的斯拉茨基替代效应为零．11.2假设*消费者的效用函数是，则他关于的需求对价格的穿插价格弹性为零．对．他关于的需求为，其中为收入，为的价格．从需求函数与的价格无关可以得到，由此可以得到．12、下面的说法对吗.为什么.*个消费者将他的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬商品．如果吉芬商品的价格上升，则他对另外一种商品的需求必定下降．对．如果吉芬商品价格上升，消费量增大，另一种商品的预算份额下降，在价格不变的前提下，需求必定下降．14、我们观察到，一个消费者在，时，购置的，；当价格为，时，购置的，．他的行为符合显示性偏好的弱公理吗.答：符合．如果要符合显示性偏好弱公理，因为所以必然应当预测到 而后一个等式确实是成立的〔〕，符合预测．因此他的行为符合显示性偏好的弱公理．第五讲 风险躲避、风险投资和跨期决策4在固定收益率为的资产上投资美元，可以在两种状态时获得；而在风险资产上的投资在好日子收益为，在坏日子为，其中．通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究．4.1请画出两种投资的结果．4.2请说明包含无风险资产与风险资产的"资产组合〞这样可以在你的图中得到显示．你怎样说明投资在风险资产中的财富比例.4.3请说明个人对于风险的态度会怎样的决定它们所持有的无风险资产与风险资产的组合．一个人会在什么情况下不持有风险资产.7、 一个人拥有固定财富，并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由给出，预算约束为，这里是单期利率．7.1证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则它应中选择时与的组合．证明：他的最大化问题是一阶条件为其中，为拉格朗日乘子．由此得到．结论得证．7.2证明，但是的符号不确定．证明：借用斯勒茨基恒等式来分析．的上升等价于第二期消费价格下降，其收入效应和替代效应均倾向增加第二期消费；但对第一期，收入效应倾向增加消费，替代效应倾向减少第一期消费，所以对第一期消费的影响不确定．具体来说其中是第二期消费的希克斯需求，为第二期的消费价格．在上式中，，，，所以．同样可以分析．题目应有一个关键假设使得结论成立，任何一期消费的收入效应为正．也许是因为在实际生活中，消费的收入效应很少为负，所以题目省略了这一点．在后面的解答中我仍认定消费的收入效应为正．11.消费者的效用函数为，在第一期和第二期的收入分别为100元和180元，利率为．求：11.1第一期和第二期的消费分别是多少.解：最大化问题是解得，．[注] 假定消费者能自由借贷．11.2 取什么值时，该消费者在第一期储蓄、贷款或不借贷.解：当期消费小于收入则储蓄．令，则该消费者在第一期储蓄．解得．同理，令，得时，消费者不借贷；令，得时，消费者贷款．11.3当利率变化对和的影响是什么.解：由，得第一期的消费额变动与利率变动方向相反．由，得第二期的消费额变动与利率变动方向一样．第六讲 生产函数与规模报酬5判断以下结论是否正确，并说明理由：5.1 边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升，平均产量则不一定上升．答：边际产出大于零，即多增加一个单位的投入，总产出的增量为正，即总产量将随着投入的增加而上升．如果多增加一个单位的投入，总产量的增量高于平均产量，则平均产量在增加该单位的投入后将上升，但是，也可能出现总产量增量在为正的同时低于平均产量的情况〔因为平均产量严格大于零〕，则平均产量在增加该单位的投入时将下降．5.2 如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的．答：假设一个经济生产的产品包括，，利用唯一的生产要素；生产可能性边界可以表述为 如以以下图，尽管A点是有效率的，但是，它所在的生产可能性边界不是外凸的．A即，生产有效率并不是一定意味着生产可能性边界外凸．15、 生产函数形式如下．15.1 劳动和资本的平均生产力是多少.解：，．15.2 图示当等于100时的曲线．解：这里没有方法标出点〔word技术问题〕，边际产出为红线〔或灰线，如果黑白打印的话〕．15.3 证明，．运用这一信息，加一个函数到2图中，这一曲线有何特别的地方.解：，同理．15.4 画出时的等产量线．解：见上图．15.5 运用3的结果，在点，，及，处，上的等产量线上的MRTS是多少.这一函数呈现边际技术替代率递减吗.解：事实上可以利用12题第3问的结论．在三个点，边际技术替代率〔对〕分别为1，25/4和4/25，这个函数呈现边际技术替代率递减．第七讲 要素需求函数、本钱函数、利润函数与供应函数3、以下说法对么.为什么.函数π(p)= p 0.5 可以成为一个利润函数．答：不对．因为该函数对p不是一次齐次函数，因此它不可以成为一个利润函数．9.一个富有进取心的企业家购置了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产一样的产品且每个工厂的生产函数都是q=(Ki Li) 1/2〔i=1,2〕,但是K1=25， K2=100，K 与L的租金价格由w=r=1元 给出。

1） 如果该企业家试图最小化短期生产总本钱，产出应如何分配min{STC}= min{125+L1 +L2}S.T 5 L11/2+10L21/2³QL(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+l[ Q-(5 L11/2+10L21/2 )]F.O.C(一阶条件) :1=5/2*l* L1-1/21=10/2*l* L2-1/2将两式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2=Q得q1=5* L11/2=1/5Q ，q2=10* L21/2=4/5Q（2） 给定最优分配，计算短期总本钱、平均本钱、边际本钱曲线产量为100、125、200时的边际本钱是多少.STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125SAC(Q)=125/Q+Q/125SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2（3） 长期应如何分配.计算长期总本钱、平均本钱、边际本钱min{LTC}= min{ K1+ K2+L1 +L2}S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2³QL(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+l[ Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 )]F.O.C 1=1/2*l*(K1/ L1 ) 1/21=1/2*l*(K2/ L2 ) 1/21=1/2*l*(L1/ K1 ) 1/21=1/2*l*(L2/ K2 ) 1/2从而有K1/ L1 =K2/ L2 ，K1=L1 ，K2= L2所以 L1+L2=Q,分配比例任意LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2（4） 如果两个厂商呈现规模报酬递减，则第三问会有什么变化.如果两个厂商呈现规模报酬递减则长期总本钱、平均本钱、边际本钱均是产量的增函数。

在规模报酬递减时利润最大化等价于本钱最小化，所以有MR1= MR2=MR=MC1=MC2因为MC1 与MC2是产量q1 与q2的增函数，所以必有q1 =q210、假定*曲棍球棒厂商的生产函数是而资本在短期固定为．、的租金分别为和．10.1计算厂商的总本钱为，，和的函数．解：当时，，此时厂商的短期总本钱为．10.2给定，与，资本投入应如何加以选择以使本钱最小.解：令，得到．10.3 用你在2中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总本钱．解：令中，就可以得到曲棍球棒生产的长期总本钱为．10.4对于美元，美元，试画出曲棍球棒生产的长期总本钱曲线．运用，与证明它是由1所算出的短期本钱。