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[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟22[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟22专升本高等数学(一)分类模拟22解答题求下列数列的极限：1.答案:解 这4个极限均为型，一般采用分母和分子同除以n的某次幂的方法求极限． 分母和分子同除以n3，得 2.答案:解 分母和分子同除以n，得 问题:3. 计算答案:解 此数列极限为“∞-∞”型，将其有理化后求极限． 问题:4. 计算答案:解 因 故 问题:5. 计算答案:解 由于 故 此题也可利用定积分的定义求极限． 求下列极限：6.答案:解7.答案:解8.答案:解9.答案:解问题:10. 计算答案:解 极限是型，分母和分子同时分解因式，约去分母为零的因式，得 问题:11. 计算答案:解 极限是型，将分母和分子同除以x3，得 一般情形有如下结论，设a0≠0，b0≠0，m，n是正整数，则 计算下列极限：12.答案:解13.答案:解 另解1 另解2 利用等价无穷小代换，当x→0时，，故 另解3 由洛必达法则，有 14.答案:解15.答案:解 当x→0+时，tanx～x，，故 问题:16. 计算答案:解 极限是“∞-∞”型，将其有理化后求极限． 计算下列极限：17.答案:解 当x→0时，x是无穷小量，由，即是有界量，故是无穷小量，于是 18.答案:解 当x→∞时，是无穷小量，因|sinx|≤1，即sinx是有界量，故是无穷小量，于是 19.答案:解20.答案:解 注意不存在． 计算下列极限：21.答案:解22.答案:解 凑成重要极限需要一些技巧．如使用代换，令x-1=t，则当x→1时，t→0，故 问题:23. 计算答案:解 极限是“∞0”型．设，则，由洛必达法则，有 故 容易计算，故有 在两个重要极限的使用中，有些人易将与与混淆，此处将求出，以引起注意． 问题:24. 设，求常数k．答案:解 则k=ln2． 或，故k=ln2． 问题:25. 设，b是有限数，求a和b．答案:解 已知极限存在，而极限式的分母的极限是0，分子的极限也必须是0， 即，得a=-2，且 所以a=-2，b=3． 求下列函数在分段点处的极限：26.答案:解 故 27.答案:解 因f(1-0)≠f(1+0)，故不存在． 当x→0时，将下列函数与x进行比较：哪些是高阶、同阶、等价无穷小?28. tan2x答案:解 因，故当x→0时，tan2x是比x高阶的无穷小，即tan2x=o(x)；29. 1-cosx答案:解 因，故当x→0时，1-cosx是比x高阶的无穷小，即1-cosx=o(x)；30. ln(1+x)答案:解 因，故当x→0时，ln(1+x)与x是等价无穷小，即ln(1+x)～x；31.答案:解 因，故当x→0时，与x是同阶无穷小，即问题:32. 讨论函数 在点x=0处的连续性． 答案:解 因f(0-0)≠f(0+0)，故不存在，因此，f(x)在点x=0处不连续． 问题:33. 设函数 在x＝1处连续，试确定常数a的值． 答案:解 因f(1)=2， 当1+a=2，即a=1时，f(x)在x=1处连续． 问题:34. 求函数的间断点并确定其类型．答案:解 所给函数在x=nπ(n=0，1，2，…)无定义，故x=0，nπ(n=1，2，…)是函数的间断点． 当x=0时，，故x=0时是第一类间断点，且是可去间断点．若补充定义f(0)=1，则f(x)在x=0处连续． 当x=nπ(n=0，1，2，…)时，，故x=nπ是第二类间断点，且是无穷间断点． 问题:35. 求函数的间断点并确定其类型．答案:解 所给函数在x=0是函数的间断点．因 无极限，故x=0是第二类间断点，且是振荡间断点． 问题:36. 设，x=0是第几类间断点?答案:解 f(x)在x=0处有定义且f(0)=0． 因f(0-0)≠f(0+0)，故x=0是f(x)的第一类间断点，且是跳跃间断点． 问题:37. 计算答案:解 因 但函数y＝arcsinuμ在处连续，故 问题:38. 计算答案:解 因，故 问题:39. 证明方程性x3-3x+1=0在0与1之间至少有一个实根．答案:证 设f(x)=x3-3x+1，则f(0)=1＞0，f(1)=-1＜0，即f(0)f(1)=-1＜0，故由零点定理知，函数f(x)在0与1之间至少有一个零点，即方程x3-3x+1=0在0与1之间至少有一个实根．问题:40. 证明方程xex=1至少有一个小于1的正根．答案:证 设f(x)=xex-1，则f(0)=-1＜0，f(1)=e-1＞0，故由取零值定理知，函数f(x)在0与1之间至少有一个零点，即方程xex=1至少有一个小于1的正根． 7 / 7。