12-7二阶常系数齐次线性微分方程教材课程.ppt

三、 n阶常系数齐次线性方程解法,二、二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性微分方程,第七节,一、常系数线性微分方程的标准形式,第十二章,一、常系数线性微分方程的标准形式,n 阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性微分方程解法,欧拉待定指数法(或特征方程法):,将其代入方程(7.1), 得,故齐次线性方程(7.1)的通解为,(7.3) 有两个相等的实根：,得(7.1)的一特解为:,,,0,0,,,得齐次线性方程(7.1)的通解为,,(7.3)有一对共轭复根:,得(7.1)的两个复值特解:,,由 欧拉公式 ，得,重新组合：,故齐次线性方程(7.1)的通解为,例1,.,解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,三、n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,解,特征方程为,特征根：,(1) 当a = 0 时，,特征根：,所求通解为,例4,(2) 当a 0 时，,特征根：,所求通解为：,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例5,,,例6,解,内容小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),解,备用题例1-1,例5-2,解(方法1),,(方法2),例6-1,解,。