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应该从吴老师那里学些什么？一观吴正宪老师《小数除法》一课有感中央民族大学 孙晓天北京市顺义区教育研究考试中心张秋爽吴老师执教的这节《小数除法》，内涵十分丰 富，对我们理解运算能力、把握小数除法的数学本 质，检视自身的教学能力，都提供了可以借鉴的重 要参照，为教师走进孩子的世界，点明了可以遵循 的努力方向本文拟从三个方面，具体探讨通过这 节课，我们应该从吴老师那里学些什么一、如何把握运算能力的内涵运算是人们日常生活中应用最多的数学知识, 也是整个小学数学体系中占比最多的内容过去,小学数学就叫算术今天，小学数学虽然已拓展为 一个比算数更为辽阔的领域，但运算能力仍然是小 学数学的一个核心概念，是小学数学的重中之重那么，这个运算能力，是否还是过去的那个算数？ 这个重中之“重”重在哪里？之所以一开始就这样提问，是因为，当运算能力重新出现在人们的视野时，恍惚间让人觉得过去 的那个算数又回来了，原本追求“对、快、准”就 很得心应手，这下子，又可以向重复训练、机械记 忆、精讲多练等等要效率了反映在课堂教学研究 领域，一些大型的课堂教学展示活动，有时连一节 以运算能力为主题的课例都没有，不是因为不重要, 而是觉得人人耳熟能详，再把运算能力作为课例,恐难于出新。

问题是，真的耳熟能详了吗?为回答这个问题，我们先简单回顾一下吴老师这节课的大致过程，看看在她的课堂里孕育生发的 是一种什么样的运算能力这节课一开始的《格林童话》，是一本学生喜 爱的读物另外，学生在二年级就已经了解了除法 的意义，有了平均分的经验，知道了平均分的结果 可能正好分完（整除），也可能有剩余这些都是 学生已有的生活经验和知识积累，也是他们喜欢这 节课的源泉和教师开展教学活动的依据与出发点 吴老师一直主张数学应该“好吃又有营养”，其中 的“好吃”与否，就与这些“已有的生活经验和知 识积累”有关接下来，“买四本格林童话”这件平平常常的事，却被已知的97一4所余下的那个数卡住了，原 本可以“有剩余”的除法，在这里已经行不通，但 不把这个余数平均分了，又解决不了问题于是, 伴随着还能不能继续分？究竟该怎么分？等等新问题的产生，学生原有的生活经验和已有的除法知 识积累，顺理成章的成为了寻找新算法的生长点, 逐步融入到“必须继续分”的过程当中在解决“究竟该怎么分？ ”的整个过程中，我们看到的情况是：一直在黑板前、书桌旁忙活是学 生，吴老师多半是站在一边观察，但时不时说出这 么？ ”“问…接着问…，”“说呀…接着说…”，“不 急，停下来想一想”・・・，话不多，也不复杂，但 眼看着，从分“钱”开始，伴随着“为什么是这样？ ”样一些短语:“把你的困惑说出来，” “你想知道什“还可以怎么想？ ”渐渐的，“钱”的概念淡去了， 分“钱”开始转化为分“数”，特殊开始转化为一 般，具体开始变的抽象。

在孩子们手里，并不那么 简单的“小数除法”开始呼之欲出循着这样的过程，最后，学生不仅把97十4除 尽了，也会算像51 一2这样的问题了，甚至大体上搞明白：514-0.2的道理就在于“0. 2变成2就好 了”同时，他们也在“继续分”的过程中，体会 到了小数点的奥秘更多的细节在课堂实录中都可以看到，上面仅记述了这节课的大致节奏与过程，目的是说明，这 样一个过程，就是今天培养运算能力所必须的教学 生态在课程标准中，作为核心概念提出的运算能力 主要是指“能够根据法则和运算律1.正确地进行运 算的能力培养运算能力要有助于学生理解运算的 2.算理，寻求3.合理简洁的运算途径解决问题 其中值得特别关注的，是关于“理解算理、寻找算 法”的要求这里的“寻找”是一个前所未有的新 提法，即这个运算能力中的运算不是现成的，而是 需要经由学生的发现得到所以，今天的运算能力, 已经改变了以往单纯追求“又对、又快”的传统面 貌，作为“算法多样化的”升级版，为学生的探索、 发现提供了一片沃土但在现实当中，运算能力的这一重大变化，尚 未引起普遍关注，更谈不上耳熟能详，本来其中己 经包括了实实在在的创新要求，但人们脑海里的, 还是原来那个难于出新的印象。

正是从这个角度, 吴老师的这节课，对当前理解运算能力的内涵，有 着特别重要的意义从现实中的问题（书的单价） 到数学中的问题（97一4）；从有余数的除法到小数 除法（余数必须继续分），这个从头到尾引导学生 寻找解决问题答案的完整过程所反映的，就是改革 新常态之下，运算能力教学应有的直观教学生态这节课以清楚的节奏，始终聚焦于引导学生对余数 的一分再分，在一个探索、发现的过程中呈现出标 准所期待的运算能力的内涵比起那些理论著述中 关于运算能力的晦涩表述，吴老师在这节课上的教 学把握，更有助于我们开展运算教学时借鉴二、如何把握小数除法的数学本质教学形态或多或少可以模仿，而对教学内容的 理解，在某种程度上，才是这个以“寻找”为主旋 律的课堂里的“定海神针”在这节课之前，学生已经认识了小数，这节课 的小数除法，重点在运算，而小数的本质恰与运算 有关长期以来，对“分数、小数、和百分数是一个 数还是三个不同的数”就多有争论，我们甚至见过 某人大代表要求澄清这是三个不同的数的来信其 实答案十分清楚，在有理数轴上，这三个数属同一 个点，所以这三个数毫无疑问是同一个数但是, 数本身还有另一个重要的功能一一表示，之所以有 一个和三个之争，就是由同一个数的不同表示引起 的。

例如，要反映整体与部分之间的关系时，往往 要用分数；要在不同客体间对同一对象进行比较时, 显然百分数更容易一目了然，这时候的分数和百分数更像是一个模型；而小数则是运算的结果（如97 和4都不是小数，结果生生除出一个小数24. 25来），而这个结果又成了能简洁表示一个大数的基 础（科学计数法）所以分数、小数、百分数是一 个数的三种表示，各安其所，缺一不可再回到小数，在可度量，有单位的情况下，所有的小数都可以转化为整数，基于此，小数运算的 算理就是整数运算的算理唯一需要关注的是抽象 的小数除法，一旦除不尽时，就要模拟有单位的具 体情况，把“角”换成“分”，把“米”换成“厘 米”，把“1”换成“10个0.1”等等于是小数除 法最本质的内容出现了：把明明没有单位的数硬要 按有单位的数那样去除，明明1除不了 2,为了“必 须继续分”就要把“1”当成“10”以保持运算的 可持续性所以，小数除法的本质就在于如何记录 把余数1放大十倍后造成的误差，而这个记录就是 小数点一般说来，小数除法，是整数除法的自然 延续，小数点是基于等式性质的特殊标记，是运算 的结果如1・25元中的小数点与运算无关，仅是 表示出客观存在的单位，而514-2=25. 5的小数点 则是运算的产物，生活中的小数和数学中的小数,有时候还不是一回事。

这就是了解小数数学性质的 意义所在上面拉拉杂杂说到的内容，几乎都没有在吴老 师的课堂话语体系里出现，但我们已经清清楚楚看 到的是：一向不做什么激情演讲的吴老师，面对“分 不完也要分”的情况出现时，是充满自信的往讲台 中间一站，并大声说出四个字“定海神针”！她以 自己为“特殊标记”，推动学生“接着说”、“继续 算”学生的计算每向前一步，她都会大声问：谁 在我的左边？谁在我的右边？引导学生以课堂中 间的老师为参照，把“除不尽” 一步步除下去 于是，具象的教师代表了抽象的数位区隔，这个画 面，切中要害，抓住本质，小数除法的算理以这种 形式展现，实在是太美了我们相信，虽然吴老师没说什么是本质，也没 提这经验那思想，小数点是每当遇到除不尽又必须 除下去时的“定海神针”这一点，对学生的影响必 定是深远的，不仅今后遇到“除不尽也要除”的情 况时，“左边、右边”的声音，一定会在他们的耳 边不断响起，而且他们也会有足够的自信，去面对 未来更多的挑战伴随着运算过程发现的小数点，道出了小数除法的本质，除了有用，这也是一道丰富的数学营养 餐，学生通过自己的尝试发现了：只要有算理在, 总会在看不见路的地方，淌出一条“继续算下去” 的路来，由此产生的自信，自会转化为这道数学营 养餐的美味。

不过我们也知道，虽“有营养”但“不好吃” 的“数学菜谱”里也少不了小数点，不知多少学生， 在与小数点不知所云的机械操作中迷失了自我，甚 至被小数点搞的与数学日渐疏离吴老师在这节课的教学实践中证明，小数点不是哪个数学大佬的天才发明，想让有营养的数学同 样能够好吃，离不开教师对数学本质的把握，因为 这是引导学生探索的基础只有在解决问题的尝试 中，才有可能揭示小数点的来龙去脉，发现小数点 在把余数除尽过程中的作用，也才有可能体会到,无论是站在那里的吴老师，还是点在两个数字之间的小圆点，都是在提醒数位的变化,派来的权威代表把这些想清楚了,都是等式性质 小数点才真正我们每每感叹吴老师对数学本质的把握能力,许多长篇累牍也说不清道不明的事，她有办法通过自己的轻轻一站，使学生豁然开朗我们也深知, 做到这些，对她而言，也绝不会是一蹴而就，离不 开多年的磨砺与思考所以，吴老师理解与把握小 数除法数学本质的思路与实践的确值得深思与回 味三、如何走进学生的世界在这节课结束时，出现了一个让人感动的场 景一个学生走到吴老师身边轻轻地对她说：“我 舍不得您……”看到这里，作为旁观者，我们的 内心也一阵悸动显然，与素昧平生的孩子只见过 这一次的吴老师，比我们更容易走进孩子们的世界。

吴老师的课堂常常出现孩子不想下课的场面她是怎么做到这一点的？好像在这节课上，也看不到什么特别之处 如果一定要找原因的话，她好像很少站在讲台中央, 也很少固定在一个位置太久，常常是站在侧面、后 面或穿行在学生中间；她好像没有什么咬文嚼字的 高谈阔论，也没有“你今天想到了哪些数学问题” 一类的生硬提问；她好像经常请学生上台展示，而 且往往一来就是“一小帮”，他们不仅互相提携， 有时也相互质疑；她好像通常会站在学生的身后，在学生信心略显不足时，轻轻的推一把；那些不太 发言的同学，好像更会被她注意，一个微笑、一句 鼓励、一声赞美，常令这些孩子一下子自信地挺直 了腰板；她好像PPT用的不多，即使用，好像也看不到那些花哨的效果；但这些，我们好像也做得到 啊，所以原因应该不仅仅在这里教不严,师之惰”，教师行管束之责,是我们的传统但凡管，必然是居高临下，于是管 束在不知不觉中异化为一种无形的压力长此以往, 无论如何引导，教师是课堂里的绝对权威这一点， 就难于有太大的改观课程改革下不去的“深水区”, 教育领域的陈年积弊，都多多少少与此有关.反观吴老师，她身上一个与众不同或与生俱 来的征象是：对她来说，学生先于老师的存在。

一 直以来，她都把学生看作应该对自然和生命敬畏而 面对的平等对象，从来没有简单地把学生置于自己 的预期和目的之下，从来不对他们居高临下的高谈 阔论，而总是努力让自己能够沉浸在学生的绚烂光 华中这是一种难得的平等观念，虽然不容易学得 来，但我们在内心一定要想清楚的是：无论是小数 除法的运算法则，还是小数点的数学本质，我们对林林总总的数学掌握的再多、再熟，都没有教师自 己改变角色、改变姿态，改变位置，从绝对权威的 位置上走下来，进入孩子的世界，成为他们良性发 展道路上的伙伴和朋友重要彻底抛弃居高临下， 远离高压手段，以发自内心的平等姿态去面对学生, 才能最终使课程、教学成为一种良性的环境力量, 激发学生的主导本能和自主工作本能无拘无束地 展开，才能让学生下课了，仍然对你恋恋不舍……。