LTI线性时不变系统.pptx

1第2章 线性时不变系统 （6学时）2学习目标l掌握卷积积分与卷积和两种计算； l了解常系数微分方程和差分方程的经 典算法； l理解LTI系统的冲激响应h(t)； l理解系统的零输入响应、零状态响 应3重点难点ü卷积积分和卷积和 ü用微分和差分方程描述因果LTI系统4内容体系l分析线性时不变系统的基本思想和方法 l卷积和 l卷积积分 lLTI系统的性质 l用微分和差分方程描述的因果LTI系统 l奇异函数52.1 分析线性时不变系统的基本思想和方法如果有一类信号连续时间信号 或离 散时间信号 ，LTI系统对它们的响 应是 和 那么基于时不变性， 将有：6l如果LTI系统的输入为：则相应的系统输出：7如果能找到一类基本信号 或 ，只要它们具有如下两个性质：•（1）用它们能构成相当广泛的信号，至 少是对研究信号与系统有意义的绝大部分 信号；（2）LTI系统对每个基本信号的响应，在 结构上十分简单，使得LTI系统对任意输 入信号的响应有一个方便简单的表达式启示8l单位冲激信号δ(t)或δ[n] ，以及它们派生 出来的一类基本信号，就具有以上两个 性质。

92.2 用单位脉冲表示离散时 间信号的方法l单位脉冲δ[n]可以构成任何离散时间信 号10-1 0 1-1-1 0 111任意一个序列都可以表示成一串移位的单位 脉冲序列δ[n-k]的线性组合：（2.2）这是离散时间单位脉冲序列的筛选性122.3 离散时间LTI系统的单位脉冲 响应及卷积和表示l对于一个离散时间LTI系统，假设x[n]是它 的任意一个输入信号，y[n]是相应的输出 信号，按照（2.2）式，任意的输入可表示 为移位的单位脉冲序列的线性组合：13假设该系统对δ[n]的响应为h[n]，即根据系统的时不变性，将有：再根据线性叠加性，又有：14l故，离散时间LTI系统的输入输出信号变 换关系为：（2.6）上述结果表明，只要知道离散时间LTI系统对δ[n] 的响应h[n]，就可以用（2.6）构造出该离散时间 LTI系统对任意输入x[n]的响应y[n]这就是卷积和15l例2.1 考虑一LTI系统，其单位脉冲响应为h[n] ，输入为x[n]，如图，求系统的输出0 1 21 h[n]0 10.5 2 x[n]0 1 2x[0]h[n-0]1 2 32 x[1]h[n-1]0 1 20.5 2.5 2 y[n]0.5161.卷积和的求解和计算 l卷积和公式（2.6）表明，在任意时刻n的输 出信号是输入序列的加权和。

l卷积和的求解过程： l任一时刻n的输出值y[n]等于输入信号x[k]乘 以h[n-k]后，在k从- ∞ 到+ ∞ 上求和得到的 值17卷积和的图解法 两个信号x[n]和h[n]的卷积和的基本步骤为：（1）将x[n]和h[n]的自变量换成k (2)将h[k]反转后，得到h[-k]，再右移n（n>0），或 左移n（n1,求x[n]*h[n]26-2 –1 0 1 2 3 4 5x[n]n-2 –1 0 1 2 3 4 5 6h[n]n27-2 –1 0 1 2 3 4 5x[k]kh[-k]翻转-7 –6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1k28-2 –1 0 1 2 3 4 5x[k]k平移：n–6 n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 nh[n-k]kn0）或左移|t|(t0τh(t-τ)t059l例2.7 求下列两信号的卷积：60x(τ)0 Tτh(τ)0 2Tτh(-τ)=- τ-2T 0τ翻转61x(τ)0 Tτh(t-τ)= t-τt-2T tτ 0t<0y(t)=062x(τ)0 Tτ0

1τ1τ0 3 5701τ1τ1τ0 3 5711τ1τ0 3 5t722.5 线性时不变系统的性质l卷积运算的性质： l交换律、分配律、结合律lLTI系统的性质： l有记忆和无记忆LTI系统 lLTI系统的可逆性、因果性、稳定性732.5.1 卷积运算的性质74一、卷积运算满足交换律l对于卷积积分或卷积和，有：即：75l卷积交换律的物理含义：LTI系统h(t)或h[n]x(t)或 x[n]y(t)或 y[n]LTI系统x(t)或x[n]h(t)或 h[n]y(t)或 y[n]76二、卷积运算满足分配律l卷积运算满足以下分配律：7778三、结合律性质l卷积的另一个重要的性质是它满足结合律7980四 卷积的微分：两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积即：（5）卷积的积分：81应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或 多重积分之运算规律：设 ，则有：此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负 整数时为重积分的次数。

一个简单的例子为：824.与冲激函数或阶跃函数的卷积（1）函数f(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结 果仍然是f(t)本身即：证明：83证明 ：8485例2－2解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：8687888990解解: : [ [例例] ] 计算下列卷积积分 (1) (2) (3)(1 )91解解: : [ [例例] ] 计算下列卷积积分 (1) (2) (3)(2 )利用卷积的平移性质平移性质和题(1)的结论 (3 )922.5.2 LTI系统的性质93一、有记忆和无记忆LTI系统l系统的无记忆性意味着，任何时刻的输 出信号值仅取决于同一时刻的输入信号 值，而与其他时刻的输入信号值无关 在一个LTI系统中，只有满足下列条件时 ，LTI系统才是无记忆的94二、LTI系统的可逆性l给定一个系统的冲激响应为h(t)，逆系统的 冲激响应为h1(t) ，则必定有： lh(t) *h1(t) =δ(t) l离散情况下： lh[n] *h1[n] =δ[n] 95l例2.11 l一个信号与一个移位冲激的卷积就是该 信号的移位96三、LTI系统的因果性 l连续和离散时间LTI系统的因果判据分别 是： l h(t)=0, t<0 l或 h[n]=0, n<0例子：请问以下系统是因果系统么？1、h[n]=u[n]2、h[n]=δ[n]- δ[n-1]3、h[n]=(4)nu[2-n]4、h(t)=e-3tu(t-1)因果；因果；非因果;因果。

97l连续时间或离散时间线性系统的因果性等价 于这样的条件，即对于任何时刻t0或n0，若对 任何输入x(t)或x[n] ，系统的输出或分别满足 如下条件：这个条件正是上述物理规律的数学描述 ，通常叫做“初始松弛”98四、LTI系统的稳定性l连续或离散时间LTI系统稳定性的充要条 件：99l请问： l下列系统是稳定的LTI系统么？是；否1002.5.3 LTI系统的单位阶跃响应l单位阶跃响应s(t)或s[n]，就是输入为 u(t)或u[n]时LTI系统的输出 l一个离散时间LTI系统的阶跃响应为： ls[n]=u[n]*h[n]101l一个连续时间LTI系统的阶跃响应为： ls[t]=u[t]*h[t]102l 例：设3个因果LTI系统的级联如图(a)所示其 中冲激响应h2[n]为： lh2[n]=u[n]-u[n-2] l 而总的冲激响应如图(b)所示 l （1）求冲激响应h1[n]. l （2）求整个系统对输入x[n]=δ[n]- δ[n-1]的响 应h1[n ]h2[n ]h2[n ]x[n] y[n](a)1030 1 2 3 4 5 6 7n15101184 1h[n]（b)104这里相当于求卷积，采用长除法 ：105故： h1[n]={1,3,3,2,1}n=0,1,2,3,51062.6 用微分和差分方程描述的因果LTI 系统一、线性常系数微分方程附加条件：1071、微分方程的解N阶微分方程的完全解y(t)由两部分组成：特解齐次解108（1）齐次解：取决于系统本身的参数（齐次方 程的特征根），而与输入信号的函数形式无 关，然而其待定系数Ai或Aik却与输入信号有 关。

在系统分析中，齐次解称为系统的自由 响应或固有响应109齐次解齐次解y yh h( (t t) )的形式的形式(1)(1) 特征根是不等实实根 s1, s2, , sn(2)(2) 特征根是等实实根 s1=s2==sn =s (3)(3) 特征根是成对对共轭轭复根110(2)特解： 完全由输入信号x(t)确定，称之为强迫响应输入信号特解 K A Kt A+Bt Ke-at(特征根s¹-a) Ae-at Ke-at(特征根s=-a) Ate-at Ksinw0t或 K cosw0t Asinw0t+ Bcosw0t Ke-atsinw0t或 K e-atcosw0t Ae-atsinw0t+ Be-atcosw0t 1112、确定待定常数Ai或Aik根据附加条件确定!112[ [例例] ] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求 系统的完全响应y(t)特征根特征根为齐次解齐次解y yh h( (t t) )解解: : (1) (1) 求齐次方程齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解齐次解y yh h( (t t) )特征方程特征方程为113[ [例例] ] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求 系统的完全响应y(t)。

解解: : (2) (2) 求非非齐次方程齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解特解y yp p( (t t) )由输入输入f f ( (t t) )的形式，设方程的特解特解为yp(t) = Ce-t将特解特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3114[ [例例] ] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求 系统的完全响应y(t)解解: : (3) (3) 求方程求方程的全解的全解 解得 A=5/2，B= -11/6 115二、线性常系数差分方程：2 2. . 经典时域分析方法经典时域分析方法: :求解差分方程 3 3. . 卷积法卷积法: :系系统统统统响响应应应应求解方法求解方法: :1 1. . 迭代法迭代法: :1161、线性常系数差分方程的递归算法l将上式改写为：117三、用微分或差分方程描述的因 果系统零状态响应yzs(t)(或yzs[n])和零输 入响应yzi(。