高二-空间向量.doc

立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直一、选择题1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)．A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确答案　B2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)D．s1＝(1，－ 1,1)，s2＝(－2,2，－2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．答案　B3．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于(　　)．A. B. C．－ D．－解析　由＝＝，可知λ＝.答案　B4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 (　　)．A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析　若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案　D5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　)A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.答案　D6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)．A. B. C. D.解析　由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴∴.答案　D7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1,1) B.C. D.解析 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝ (1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.答案 B二、填空题8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_______．解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案　平行9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.答案 ±10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则·＝0，且·＝0是·＝0的_______．解析　由，得·(－)＝0，即·＝0，亦即·＝0，反之，若·＝0，则·(－)＝0⇒·＝·，未必等于0.答案　充分不必要条件11．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析　设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则即令z＝1，得∴n＝，∴平面ABC的单位法向量为±＝±.答案　±12．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．解析 由题知：⊥，⊥.所以即解得x＝，y＝－，z＝4.答案 ，－，4三、解答题13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：a，b，c.解析　因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． 14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明　法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝， 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二　＝－＝－＝(－)＝，∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.证明　(1)建立如图所示的坐标系，则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)．所以＝＋，故、、共面．又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，则＝，而＝(0,3,2)，由题设得·＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以＝(3,0,0)．又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，所以·＝0，·＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0, 1)．∴＝.又点A、M的坐标分别是(，，0)、∴＝.∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离一、选择题1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是(　　)．A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直解析　建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案　C2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)．A.a B.a C.a D.a解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴||＝ ＝a.答案　A3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)．A. B. C. D.解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，答案　B4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2, 1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)A. B. C. D．3解析 两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|·n0|＝.答案　B5．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)．A．2 B. C. D．1解析　如图，建立直角坐标系D­xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.答案　C6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为(　　)．A．30° B．120° C．60° D．90°解析　如图建立直角坐标系D­xyz，设DA＝1，由已知条件G，B，E，F，＝，＝cos〈，〉＝＝0，则⊥.答案　D7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)A. B.C．2 D.解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1 (0,0,2)，D(1,0,1)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0， a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．则⇒，令z＝－1，得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.答案：A二、填空题8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．解析 以B为坐标原点， BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设＝λ，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大，故VP－ABC＝××1×1×＝.答案 9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为____。