信号处理初步2ppt课件.ppt

ü 三、信号的互相关函数ü 　在实际当中，不仅要有描述单个随机过程的统计参数，而且常常希望描述来自两个〔或几个〕随机过程的信号之间一般的依赖关系或相关程度ü　　　同自相关函数的方法类似，两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为§6.3　信号的互相关函数　信号的互相关函数 互相关函数描述了x(t)在t时刻与y(t)在(t+)时刻的值之间的相关程度，描述了x(t)和y(t)之间的相似性 １、互相关函数的主要性质ü性质１证明：又由于所以. 当足够大或时，随机变量x(t)和y(t)之间互不相关，故ü性质２ 此时，x(t)和y(t)是两个完全独立无关的信号ü性质３ 互相关函数不是偶函数证明：当x与y互换时，互相关函数是对称于纵轴的　　如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即便 ，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关ü性质４　同频相关，不同频不相关.　例6-2　设有两个周期信号x(t)和y(t)，试求其互相关函数．式中因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替整个历程的平均值，故解：保留了信号的圆频率、对应的幅值以及相位差的信息。

　例6-3　若两个周期信号的圆频率不等，试求其互相关函数．解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，因而可见，两个非同频的周期信号是不相关的 互相关函数的性质可用图6-19来表示图中表明＝0时呈现最大值，相关程度最高，时移0反映x(t)和y(t)之间的滞后时间 图6-19　互相关函数的性质.ü互相关函数的这些性质，使它在工程应用中有重要的价值它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的应信号进行互相关〔不必用时移＝0〕处置，就可以得到由激振而引起的响应幅值和相位息的处理方法叫做相关滤波它是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的 互相关技术还广泛地应用于各种测试中工程中还常用两个间隔一定距离的传感器来不接触地测量运动物体的速度图6-17是测定热轧钢带运动速度的示意图钢该钢带的运动速度带表面的反射光经透镜聚焦在相距为d的两个光电池上反射光强度的波动，通过光电池转换为电信号，再进行相关处理当可调延时等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间d时，互相关函数为最大值图6-17 钢带速度的非接触测量. 图6-18是确定深埋在地下的输油管裂损位置的例子。

漏损处K视为向两侧传播声响的声源，在两侧管道上分别放置传感器1和2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，则漏油的音响传至两传感器就有时差，在互相关图上＝m处 　有最大值，这个m就是时差由m就可确定漏损处的位置s：式中，s—两传感器的中点至漏损处的距离；　　　—音响通过管道的传播速度　　上面所定义的相关函数只适用于各态历经随机信号和功率信号对于能量有限信号的相关函数，其中的积分若除以趋于无限大的时间T后，无论时移m为何值，其结果都将趋于零因而，对能量有限信号进行相关分析时，应按下面定义来计算：.四、相关函数估计 按照定义，相关函数应该在无穷长的时间内进行观察和计算实际上，任何的观察时间都是有限的，我们只能根据有限时间的观察值去估计相关函数的真值理想的周期信号，能准确重复其过程，因而一个周期内的观察值的平均值就能完全代表整个过程的平均值对于随机信号，可用有限时间的样本记录所求得的相关函数值来作为随机信号相关函数的估计样本记录的相关函数，亦就是随机信号相关函数的估计值分别由下式计算.　　式中,T－样本记录长度为了简便，假定信号在〔T＋ ）上存在，则可用下二式代替 使模拟信号不失真地沿时轴平移是一件困难的工作。

因而，模拟相关处理技术只适用于几种特定信号〔如正弦信号）在数字信号处理中，信号时序的增减就表示它沿时间轴平移，是一件容易做到的事所以实际上相关处理都是用数字技术来完成的对于有限个序列点N的数字信号的相关函数估计，仿照上式可写成：r=0,1,2,…,m

因为Rx()为实偶函数，Sx(f)亦为实偶函数由此常用在 f＝(0~ ）范围内Gx(f)＝2Sx(f)来表示信号的全部功率谱，并把Gx(f)称为x(t)信号的单边功率谱图6-19　单边谱和双边谱. 　　假设＝0，根据自相关函数Rx()和自功率谱密度函数 Sx(f)的定义，可得到　　由此可见，Sx(f)曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，Sx(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称 Sx(f)为自功率谱密度函数（二〕巴塞伐尔定理 在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，这就是巴塞伐尔定理，即该式又叫做能量等式可以由傅立叶变换的卷积公式证明设按照频域卷积定理有即令q=0，得.又令h(t)=x(t)，得x(t)是实函数，那么所以　　　称为能谱，它是沿频率轴的能量分布密度在整个时间轴上信号平均功率为因而，自功率谱密度函数和幅值谱的关系为　　利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱（三〕功率谱的估计 无法按上式来计算随机过程的功率谱只能用有限长度T的样本记录来计算样本功率谱，并以此作为信号功率谱的初步估计值现以 分别表双边、单边功率谱的初步估计对于数字信号，功率谱的初步估计为.　也就是对离散的数字信号序列{x(n)}进行FFT运算，取其模的平方，再除N〔或乘以2/N），便可得信号的功率谱初步估计。

这种计算功率谱估计的方法称为周期图法它也是一种最简单、常用的功率谱估计算法（四〕应用 自功率谱密度 Sx(f)为自相关函数Rx()的傅里叶变换，故 Sx(f)包含着Rx()中的全部信息 自功率谱密度 Sx(f)反映信号的频域结构，这一点和幅值谱 X(f) 一致，但是自功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显，如图5-20所示图6-20　幅值谱与自功率谱.　对于一个线性系统(图6-21)，若其输入为x(t)，输出为y(t) ，系统的频率响应函数为H(f)， x(t) X(f) ，y(t)  Y(f) 那么： Y(f) ＝ H(f) X(f) 不难证明，输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系如下：h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)图6-21　理想的单输入、单输出系统.二、互功率谱密度函数１、定义如果互相关函数Rxy()可满足傅里叶变换的条件则定义称为信号x(t)和y(t)的互谱密度函数，简称互谱，根据傅立叶变换有　互相关函数Rxy()并非偶函数，因此而Sxy(f)具有虚、实两部分同样，Sxy(f)保留了Rxy()中的全部信息。

对于模拟信号，功率谱的初步估计对于数字信号，功率谱的初步估计为:X*(f) 、Y*(f) 分别是X(f) 、Y(f)的共轭函数. （二〕应用 对图6-21所示的线性系统可证明有Sxy(f) ＝ H(f) Sx(f) 故从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得到系统的频率响应函数所得到的H(f)不仅含有幅频特性而且含有相频特性这是因为互相关函数中包含有相位信息6-21 受外界干扰的系统.输入x(t)与输出y(t)的互相关函数为　由于输入x(t)与噪声n1(t) 、n2(t) 、n3(t)是独立无关的，故互相关函数　　　　　　　　　　均为零故式中，H(f)= H1(f) H2(f)　由此可见，利用互谱进行分析将可排除噪声的影响这是这种分析方法的突出的优点　　评价系统的输入信号和输出信号之间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应，在许多场合中是十分重要的通常用相干函数来描述这种因果性，其定义为 如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干，系统不受干扰而且系统是线性的相于函数在0～l之间，则表明有如下三种可能：1〕测试中有外界噪声干扰；2〕输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；3〕联系x(t)和y(t)的系统是非线性的。

　　图6-23是船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉冲间的相干分析 润滑油泵转速为n=781r/min,油泵齿轮的齿数为z=14,则压油管压力脉动的基频为 齿轮引起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其他频率对应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油压脉动引起的图6-23 油压脉动与油管振动的相干分析.例6-1　解：显然h(t)是能量有限信号，满足则自相关函数为.例6-2　解：设则x(t)的自相关函数可表示为因为那么所以.例6-3　解：由于方波信号的傅立叶级数展开式为　　根据同频相关，不同频不相关原则，在互相关函数中将仅存基频w0成分，并且由图示可知，y(t)基频分量与x(t)＝sinwt间存在着90°的相位差，所以互相关函数表达式如下.例6-4　解： 因为y(t)和x(t)的波形形状相同，可设式中A、T0为常数，则有又因为.那么恒成立，显然可得所以得该系统为一延时系统例6-5　解：根据自相关函数的性质所以均方根值.例6-6　解：由于抽样函数的频谱是窗函数当wc＝１时则有应用巴塞伐尔定理：则有.。