《量子力学中的力学量》.docx

第四章星子力学中的力学星第四章目录(1) §4.1表示力学量算符的性质3一般运算规则3算符的对易性5算符的厄密性(Hermiticity)7(1) §4.2厄密算符的本征值和本征函数...10厄密算符的本征值和本征函数10厄密算符的本征值的本征函数性质12(1) §4.3连续谱本征函数“归一化”15连续谱本征函数“归一化”15a函数18本征函数的封闭性22(1) §4.4算符的共同本征函数24算符“涨落”之间的关系24算符的共同本征函数组27角动量的共同本征函数组一球谐函数28力学量的完全集34(1) §4.5力学量平均值随时间的变化，运动常数(守恒量)，恩费斯脱定理(EhrenfestTheorem).36力学量的平均值，随时间变化；运动常数36VivialTheorem维里定理37能量一时间测不准关系38恩费斯脱定理(EhrenfestTheorem)38第四章量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质(1)一般运算规则一个力学量如以算符&表示它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另波函数&平(x,y,z)=吼x,y,z)它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从平(x,y,z)_°t

由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符所谓线性算符，即&(C)2&(C11C22)=C1&1c2&2例如1:i汽堂=H?甲若平1是方程解，卅2也是方程解，贝uC1平1+C2平2是体系的可能解事实上i(Ci'1C2‘2)=Cii、1c2i'■■■2:tft:t泌？1C2印2仅当自是线性算符有=?仁舟1十C2W2)；例如2:对不显含时间的薛定谓方程竹平=E平，若H?平〔=E平1,H?平2=E平2，贝UC1平1+C2平2也是解E(c「、-c2，2)=CiE、iC2E、2=cH1C2H?2仅当H?是线性算符有=H?(c^^c2W2)量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，方程6甲=A就不行因6平〔=A,2=A但&(C1?1+C2^2)=C1&W1+C2&W2=A(C1*2)而C1+c2=1所以，方程形式只能为F((?)甲=0,且F(&)必须是线性算符当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符B. 算符之和：8=£十官表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即卅=中，(Z+?)甲=3平+?卅=中入+甲B=中；算符之积：&=R?表示，对任意波函数甲，有?=■,则AB^=®bK；逆算符：算符。

将任一波函数w—^T吼即&甲=中若有另一算符使？中=甲，则称I?为(？的逆算符，并表为|?=&一1,显然，&&T=&T&=1；C. 算符的函数：设：F(x)在x=0处，有各级导数FgMxn,n!则定义算符的函数例如：ex它有各级导数(ex)『=1,ex=£-xnn!eA=£-An!如果函数不能以藉级数表示，则还有算符函数的自然展开我们将在后面给出2)算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易」迅/--J-1?zZ若A=e2,?=e2，则AB手BA我们熟悉x?x^=—Wx平’，？xxW=-i冲-i&『所以x?x-?xx=i由于甲是任意波函数所以算符x?x-?xx=i布引入对易子：｛?,?】为算符&和？的对易子，i?,?]=A?—BA由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0对易子有如下性质[&,■=[?,&][■?C]B[R&][的?[&xB,(?]=&x[?0+[£C]x?，n-1并有[£En]='约£,?]?n』」，S=0证：n=1成立设：n-1成立，即[£En」]=¥目'讯目]白而s'=0[&,?n]=B[&,?n1][A,B]?n」n-2--=歆？s[A,B]?nJ1[足曲白一1S,=0=n—2?s1[A,Bl?n1S1[£B]?n-1S=0n-1='、•E?S[^,E?]E?n^-1[A,目]B1-1S=1n-1____」=，E?s[A,?]?n-s-1S=0例：求[x,?；]n-1='?xS[X,?x]PxS=0n-1.=j'?xS=0=伊n?；一1。

由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运算混淆例:A,?都和[A,B]对易，可证明.e疽展[A,?]所以,e.e=e1-x?xxpx2je.e=e2这种差异，是因为AE?#l?A而仅当福=散时，eA.eB=eA*B才成立下面是一些有用的对易关系[?j，xj]=j亦xk[?i,?j]=i亦?k[?j,l?j]=i』kL?k其中i,j,k可取1,2,3,&亦称为Levi-Civita符号取值（一1）标（标为从123^ijk的对换数如&132=1,S13^^1）^-1显然，当ijk中有两个相同，则j=0）用上述关系可证：?rr?=2ir这表明，?L^-LK\??p手-?J?但r£p=—p乂r,所以，c1.?=_(r?一？r)=rp一2一一一一--应该强调指出：对易关系是与坐标选择无关因此，求对易关系，可找计算起来最简单的坐标系来做其结果，当然对任何坐标系都成立例：[?z,r]=[-i(x—-y—)，r]:y:x而[?N，r]=[—i*£，r]=0ozf另外，对易关系与表象选择无关如[x,?X】=对一^-#：]=席？?1Px算符的厄密性(Hermiticity)A.算符复共轴：若对波函数(任意)有顼，*=?*则称B为&的复共轴算符，以A表示。

例(x)=px(x)=—i9(x),dx*(x)=(-id(x))*=id-px(x)*,dxdx一--k所以，Px=_pX^x.x.事实上，算符的复共轴就是将算符所有复数量取复共轴显然,cc*c*c*c**c(&?)=Rb,(A)=&算符的转置标积定义：若体系有两个波函数，其标积为(,)=.'*dr显然，(甲*)=』M2dr》0对于标积，显然（平，啊=（甲,平）=（中，平）（'」，「-2：：2）=，1（』‘1）•项’-"2）（#1平1+^2%，⑺=21（甲1,阿+七（^2,阿所以对◎，标积是性运算；而对平，标积是反线性运算当标积为零，,、*._（'■■,）=dr=0则称这两波函数正交1. 转置定义：算符B称为算符A的转置算符，即尸*&华dr=K?w*dr，或（平,Rb）=仰*,Bv*）〜通常以算符舟表示算符&的转置算符即~~冲£%匚=仰£平dr，或（平,Ap）=（中，犬平）,,,*E*」+土fC*,C*~例：-一dr=--—■dr=I-—/dr,所以，；x-■：X:x〜.X~显然，？x=-?x〜一一~~可以证明ABKR,算符的厄密共轴定义：算符的厄密共轴是该算符取复共轴，再转置，（以J?+表示），~一即A项，也就是，加）=（中*,A>*）=（&甲*）；由明显的标积形式'-顶dr=矿-*dr=（如）*dr可证：（&*）+=&；（A?）+=^*A*—*——II—叩px=px=一？x=?x，即？x的厄卷'共轴等于匕自己。

这是一类特殊的算符x,?：=区）厄密算符：若算符的厄密共轴就是它自身，则称该算符为厄密算符，即，若?=A，则称£为厄密算符，也就是（甲,&◎）=（&+约A平,9）任一算符有（，矿）=（A,）1. 显然，？；=px,?+=x,i?r=i?i当然实数也是一厄密算符厄密算符的性质厄密算符相加、减，仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符任何状态下，厄密算符的平均值必为实数*（?=（¥,&平）=（&¥*）=",&平）*=&在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符证：根据假设，对任一波函数，平均值为实的线性算符A有（,?）=（,?）*=（&,）令平=平i+洲2,（h甲1,甲2都是任意的），于是（‘1‘2,穴（’12））线性=（平〔，^¥［）+7.（%,/?平2）十舄*（甲2,^平履+楫勺、，&糙）（1）实数二（&（12），12）=（代,甲1）十九（衣1,罕2）+A*（如2,罕1）眼2（M%）=（平1，£^）+"甲2^卅1）*+7：（甲1，A平2）*+/*2，£平2）（2）两式相减得,［（•"A2）-（2,?i）*］=?：［（平1,&甲2）*—（平2,A甲1）］=九［（甲1,&甲2）一（甲2,&平1）］由于入取任意值，上式都成立，因此上式成立仅当［（甲1,A甲2）*-（平2,削1）］=。

即人为实数，则卜】的虚部为零；乳为虚数，则I的实部为零；（2,A1）=（?2，‘1）由于，甲2是任意的，所以A是厄密算符易证：若£是厄密算符，贝u应2芝0因（A平，A平）/0§4.2厄密算符的本征值和本征函数（1）厄密算符的本征值和本征函数对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义aa=（aA2=2（平,A&2平）=（（叩反―应）2平）若A是一厄密算符，那A是一实数所以A-及也是一厄密算符平,（&顼）2平）=（（A-A）胡,（&-&）平）芝0,因此，要使“涨落”为零,即测量值只取确定值（即仅测得一个值，其几率为1）即（&—A）=0这一方程表明，当体系处于满足上述方程所确定的状态中，这时测量力学量A，发现没有“涨落”，即测量值为一确定值当然也就是平均值如令这一特殊状态为un,而在这一状态中的平均值，也就是这一态中测量仅得一个值An,则有方程A%=AM一般而言，这是一微分方程，它的解只有在一定边条件下才能唯一确定（可以是在8为零；可以是周期性边条件；更一般是保持厄密性）而在一定边条件下，An不是取任何值都有非零解我们称，有非零解的值A1,A2,A3…为方程的本征值，相应的非零解为本征函数，而上述方程为算符的本征方程。

由于A是厄密算符，所以An必为实数这样给出量子力学中又一基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得的值，只能是算符A的本征方程的本征值显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落“为0）而不含时间的薛定谓方程，即为体系的能量本征方程例1:求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数一.d于是有—伊祯卅仰）/平仰）=lz,所以平（中）=Aeilz"由于！？Z是轨道角动量，因此空间转2兀回到原处，所以具有周期性边条件，平（中+2兀）=平莒，2「l_所以一=±2nmnlz=m‘m=0,±1,±2"‘z同时，周期性边条件也保证了？Z是厄密算符事实上，要求？Z是厄密算符（保证本征值为实数）那对任意二个波函数虹-2o'"'"…；(W)2二d.i2()：1()d0d**-d*i(1(2)2(2"1("2())0(-y1())2()d所以，**M(2兀)％(2兀)~1(0)92(0))=0如卅1,甲2是本征解，则有ei（l2-lz）2m*=1于是有2二（l2一"）〒=±2兀m，即（l；—呻）=±m”这表明，两本征值之差最小绝对值为汽。

所以，lz0,1,2,3,也就是说，要求？z是厄密算符，得不出lz/计必需取整数的结论例2求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数绕固定轴转子的能量本征方程?u=Eu=^u=Eu2、d2。