微分几何陈维桓第三章讲稿.doc

微分几何 陈维桓 第三章讲稿 - 教育文库 目 录 第三章 曲面的第一根本形式 ................................................................................................................... 27 § 3.1 正那么参数曲面 ............................................................................................................................. 27 一、参数曲面 ............................................................................................................................... 27 二、参数变换 ............................................................................................................................... 28 三、正那么曲面 ............................................................................................................................... 29 四、正那么曲面的例子 ................................................................................................................... 30 § 3.2 切平面和法线 ............................................................................................................................. 33 一、曲面的切空间，切平面和法线 ........................................................................................... 33 二、连续可微函数的等值面 ....................................................................................................... 35 三、微分dr的几何意义 ............................................................................................................. 35 § 3.3 第一根本形式 ............................................................................................................................. 36 § 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 ............................................................................................. 39 § 3.5 保长对应和保角对应 ............................................................................................................... 40 一、曲面到曲面的连续可微映射 ............................................................................................... 40 二、切映射 ................................................................................................................................... 41 三、保长对应(等距对应) ............................................................................................................ 42 四、保角对应(共形对应) ............................................................................................................ 45 § 3.6 可展曲面 ..................................................................................................................................... 46 第三章 曲面的第一根本形式 本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一根本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面 方案学时：12学时，含习题课4学时. 难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应 § 3.1 正那么参数曲面 一、参数曲面 2从平面R的一个区域(region，即连通开集)D到E3中的一个连续映射r:D?S?r(D)?E333的象集S?r(D)称为E中的一个参数曲面(parameterized surface). 在E中取定正交标架{O;i,j,k}，建立笛卡尔右手直角坐标系. 那么参数曲面S可以通过参数(parameter)(u,v)表示成参数方程 ?x?x(u,v),?2?y?y(u,v), (u,v)?D?R， (1.1) ?z?z(u,v),?或写成向量参数方程 r?r(u,v)?x(u,v)i?y(u,v)j?z(u,v)k-x(u,v),y(u,v),z(u,v)?，(u,v)-. (1.2) 为了使用微积分工具，本书中要求向量函数r(u,v)都是3次以上连续可微的. vr(u0,v0)(u0,v0)rv?v0zu?u0Duxy图3.1 u-曲线：让v?v0固定，u变化，向量r(u,v0)的终点描出的轨迹. v-曲线，参数曲线网. 直观上，参数曲面S就是将平面中的区域D经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间E中的结果. 曲纹坐标p(?S)?(u,v)(?D)，即Op(u,v)?r(u,v). 一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点p(u,v)与该点的参数(u,v)之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正那么性条件. 定义 设S:r?r(u,v)为E中的参数曲面. 假如在(u0,v0)点，两条参数曲线的切向量 33 27 ru(u0,v0)-r?r，rv(u0,v0)? (1.3) ?u(u0,v0)?v(u0,v0)线性无关，即ru?rv(u0,v0):?ru?rv|(u0,v0)?[ru(u0,v0)]?[rv(u0,v0)]?0，那么称(u0,v0)或p0(u0,v0)是S的正那么点(regular point). 假如S上每一点都是正那么点，那么称S是正那么参数曲面. 以下总假定S是正那么曲面. 在正那么曲面上每一点P0(u0,v0)，由于 ?yru?rv(u0,v0)-u?yvzuzv,?xuxvzuxu,zvxvyu-yv-0， (1.4) (u0,v0)通过重新选取正交标架O;i,j,k，不妨设 -x?(x,y):?uxv?(u,v)(u0,v0)yuyv(u,v)00?0. 根据反函数定理，存在(u0,v0)的邻域U?D，使得x?x(u,v),y?y(u,v)有连续可微的反函数 u?f(x,y)，v?g(x,y)， 即有 x(f(x,y),g(x,y))?x,y(f(x,y),g(x,y))?y. 2此时有(x0,y0)-x(u0,v0),y(u0,v0)?的邻域V?R和同胚映射?:V?U. 从而有连续映射r?r?:V?r(U)?SU|?S. 于是S在P0(u0,v0)的邻域S|U内可用参数方程表示为 r(x,y)?r?u(x,y),v(x,y)-?x,y,z(f(x,y),g(x,y))?， (*) 或表示为一个二元函数z?F(x,y)的图像，其中 z?F(x,y)?z?f(x,y),g(x,y)?. (1.5) 上式称为曲面片S|U的Monge形式，或称为S|U的显式方程. 从(*)式可见r:V?S|U:(x,y)?x,y,z(f(x,y),g(x,y))?是一一对应，从而 r?r-1:U?r(U)?S|U?S 也是一一对应. 这说明正那么性条件至少保证了r:D?S部分是一一对应. 为了确定起见，以下约定正那么曲面S?r(D)与其定义域D之间总是一一对应的，从而参数(u,v)可以作为曲面上点p(u,v)的曲纹坐标. 反之，由显式方程z?z(x,y)表示的曲面总是正那么的：假如 r?r(x,y)?r?x,y,z(x,y)?， (1.6) 那么rx-1,0,zx?，ry?0,1,zy，从而 -rx?ry-?zx,?zy,1-0. 二、参数变换 曲面的定向(orientation)：对于曲面S:r?r(u,v)，规定ru?rv所指的一侧为S的正侧. 由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进展参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换 u?u(u,v),v?v(u,v) (1.8) 满足：(1) u(u,v),v(u,v)是(u,v)的3次以上连续可微函数；(2) ?(u,v)处处不为零. ?(u,v) 28 这样的参数变换称为可允许的(patible)参数变换. 当(preserve the orientation)的参数变换. 根据复合函数的求导法那么，在新的参数下， ?(u,v)?0时，称为保持定向?(u,v)ru?ru因此 ru?rv-?u?v?u?v， rv?ru?rv?rv. ?u?u?v?v?(u,v)-u?v?u?v-ru?rv. (1.10) ?ru?rv-(u,v)-u?v?v?u?上式说明在可允许的参数变换下，正那么性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变. 三、正那么曲面 正那么参数曲面在详细应用总是非常方便，非常广泛的. 但是有的曲面不可以用一张正那么参数曲面来表示，例如球面. 将E3与R等同，赋予普通的度量拓扑，即以R的标准度量确定的拓扑. 定义1.1 设S是E3?R3的一个子集，具有相对拓扑. 假如对任意一点p?S，存在p在S中的一个。