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介绍18道日本高考数学题甘志国(已发表于数学教学，2015(9)： 39-45)口木与中国虽同处亚洲，但在数学研究水平上却领先中国很远.1920年，从高木贞治(Takagi Teiji, 1875-1960)解决了 “克罗内克青春之梦”猜想开 始，FI本走上了现代数学的世界舞台.国人熟知的H本数学家有陈建功(1893-1971)的老师藤 原 松三郎(Matsusaburo Fujiwara , 1881-1946)和 苏步青(1902-2003)的 老师洼 田忠彦 (Tadahiko Kubota, 1885-1952).而示小平邦彦(Kunihiko Kodaira, 1915-1997)> 广中平祐 (Heisuke Hironaka, 1931-)与森重文(Mori Shigefumi, 1951-)相继荣获菲尔茨奖.许多 学者都认为21世纪的日本，将会成为世界的数学中心2—・我们与其羨慕Fl本的数学成就，倒不如借鉴一下他们的中学数学教育• Fl本大学入学考 试分两次进行，第一次为全国统一考试，第二次为各大学H主招生考试.这一规定从1979年 实施至今上【木的人学入学考试的难度与中国相比有过之而无不及.特别是像东京人学和早稻 出大学这样的著名大学，其入学竞争Z惨烈是外人无法想象的.东义博主编的《300个tl本高考数学题》(哈尔滨工业大学出版社，2012年)涵盖了日本 高中数学教科书《数学I》的全部棊础知识(共9部分)，书中的高考题全部是选择题或填空 题，但选择题并不是中国数学选择题的“四选一”模式，而是“多选多”.下面从中精选出 26道F1本高考数学题供读者欣赏,这对中国考生的高考(包括大学自主招生)是有所裨益的. 1数、式的计算题1 (1)10进制的数365如用2进制表示则是(®)位数，第五位数字是0). 乂 2进制 的数1011用10进制表示，则是(qdj.⑵计算下列用7进制表示的数，在()内填入适当的数值：423（7）+546（7）=1（讷）2（7）：1542仃）*36（7）= （qdj（7）…余（弓/J（7）•答案（1） q[…9 • • • 0 q …1 %⑵坷・・・3勺・・・0 C[・・・3 d]・・・l ®・・・3 土・・・3题2设5-JJ的整数部分是d,小数部分是b,则。
的值是(如，2R- 值是©).答案a】…3 b]…2解 由可得a = 3,方=2—徭.所以( 1、( \ \2a3 -=54-( 1、+ 3 h + - =54 - 43 + 3-4 = 2 I b)评注 题1是〃进制问题，这种问题在中国高考中也出现过，比如2014年高考天津卷 文、理倒数第二题就是此内容.题2对于中国考生来说已经是竞赛题了，也是考杳恒等变换、 整体代换的好题目.2方程、不等式题3 l+2i是实系数三次方程x3^-ax2+bx + c = 0的根，乂知这个方程与方程x3+3x2+(b-4)x-b = 0仅有一•个公共根，求它们的公共根和实系数ci,b,c的值，且把公 共根按从小到大的顺序记.(1) 当公共根是(a/i)时,则 a = (1；/7,9丘2)都是整数时，求的值.q p设—―-=m, —―- = /?(m, n g Z),解得q P(4) (b)p =——!—,q =——!—4 一 mti 4 一 mn由 p> q >1，得(4)> (bj,4 — 〃加〉0，所以m 一 n > (q), (d) < mn < 3所以 (m,«)=((弓),(/i)), ((gi),(人))根据上式，得(p,ty) = ((/；),(/))从下曲的答案中选取适当的代号记入上面的（）内（且设弓 < 匕）：① 1②2③3④4⑤5 @1 + 71⑦1 +血⑧2 +斤⑨2 +加⑩0答案q•…⑨b[・••⑧ q・・・⑩ ••①£[•••②/]…①g[…③说…①4…⑤丿]…③解 设—~~- = m, —~- = n(m,斤 w Z),解得q P2+m 2+np , q = 4 一 mn 4 - mn由 p> q> \ ,得gN*,所以2 +m 2 + 〃 、 > >14 一 mn 4 一 mn4 一 mn > 0,2 + 加 > 2 + n所以 m> n> \,mn S 3 •得(m, n) = (2,1), (3,1)，再得(p,q) = (5,3)・评注 方程问题主要涉及实数、复数范围内解多项式方程(包括高次)，不等式问题主要 涉及不等式的基木性质、均值不等式等，也包括用放缩法解不定方程.但前者在中国的高考 题中几乎都是空白.3平面图形和方程题6 (1)点(x,y)关于直线x-2y + 2 = 0对称的点的坐标是'(4)兀 + (勺)丁 + (切)(/i)x + (g/i)y + (i|)'< (弓) ’ (Ji) >(2)直线x-y-2 = 0关于直线兀_2y + 2 = 0对称的方程是(al)x + (bJcl)y + (djel) = 0答案(1) • • • 3 b} • • • 4 Cj • • • — £ …4 弓…5 /J • • • 4 g】…一 用 …3 片…8 人 …5(2) Q]…1 b、 q …7 d、…2 q …2题7下面的(1)〜(7)是敘述用平面Q切疋方体得到的切口图形F的各种情形的.试把 ⑴〜(7)中真命题的题号集中起來，集中在一•起题号从卜•面的①〜⑩中挑选.(1) F不是钝角三角形；(2) 若F是四边形，则F有一组对边平行；(3) 若&只含正方体的一个顶点，则F的顶点是奇数个；(4) 适当地选定&的位置，对使F是有对称轴的五边形；(5) 适当地选定a的位置，可使F是七边形；(6) 若切口是三角形，则面积最大的是止三角形;(7) 若切口是矩形，则血枳最大的是正方形.①⑴,(3), (7)⑤⑴,(2), (3), (5)⑧⑵,(3),(4), (7) 答案⑥② ⑴，⑷，(6)©(1), (2), (4), (6)⑨⑶,(5), (6), (7)③ ⑵,(5), (7)⑦⑴,(4), (5), (6)⑩①〜⑨全不对®(3), (4), (6)评注 题7是一个经典问题一一止方体的种种截1(11.2013年高考安徽卷文、理笫15题就 是这种问题.4向量题8 如图1所示，把重为20N的物体用绳了挂在两点处，若ZAOC = 150°,ZBOC = 120°,则作用在OA上的力是⑺厶)、知 N,作用在03上的力是(％弓)N.答案解先介绍拉米定理.在图 2 中，设向量 AD = a, AC = b, AE = c,
