对称性微构分析测试中心课件.ppt

晶体结构的对称性晶体结构的对称性-从点阵到空间群从点阵到空间群中国科学院物理研究所中国科学院物理研究所董成董成*第1页，共85页主要内容主要内容v晶体的平移对称性：三维点阵和晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞v晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素：(旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋轴和滑移面)v晶体学点群晶体学点群，晶系和点阵型式晶系和点阵型式v空间群及其应用：空间群及其应用：空间群符号，等效点系，空间群符号，等效点系，分数坐标，不对称单位分数坐标，不对称单位*第2页，共85页晶体性质 晶体是原子晶体是原子(包括离子，原子团包括离子，原子团)在在三维空间中周三维空间中周期性排列形成期性排列形成的固体物质晶体有以下的共同性质：的固体物质晶体有以下的共同性质：1.均匀性均匀性;2.各向异性各向异性;3.自范性自范性;4.对称性对称性;5.5.稳定性第3页，共85页对称性的不同含义v物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、等价或相等的关系希腊字根=类似尺寸的v由于平衡或和谐的排列所显示的美v形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元的排列形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元的排列构型的精确对应。

构型的精确对应第4页，共85页晶格*第5页，共85页晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性v在每个重复周期都选取一个代表点，就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性而平移对称性是晶体最为基本的对称性平移对称性是晶体最为基本的对称性整个点阵沿平移矢量t=ua+vb+wc(u、v，w为任意整数)平移，得到的新空间点阵与平移前一样，称沿矢量沿矢量t t的平移为的平移为平移平移对称操作对称操作第6页，共85页晶体点阵与晶体对称性晶体点阵与晶体对称性v点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵按此矢量平移后都能复原三维空间点阵是在三维空间点阵按此矢量平移后都能复原三维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境选任意一中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量个阵点作为原点，三个不共面的矢量a，b和和c作为坐标轴的基矢，作为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：此平行六面体称为晶胞此平行六面体称为晶胞第7页，共85页。

晶胞晶胞v如上确定的六面体称为晶胞，由矢量如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a，b和和c确定的方向称为晶体学的确定的方向称为晶体学的晶轴晶轴 X，Y，Zv如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 (primitive)v晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个边的长度晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个边的长度a，b，c三个边之间的夹角三个边之间的夹角a a，b b，g g表示v晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息如果知道了晶胞中全晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息如果知道了晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息一般写作：晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元；但准确的描述应为：；但准确的描述应为：晶体晶体结构结构=点阵点阵*结构基元结构基元；晶体结构；晶体结构=结构基元结构基元点阵点阵*第8页，共85页晶胞的选取晶胞的选取v晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽可晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体内部能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞-惯用晶惯用晶胞。

胞1 1）符合整个空间点阵的对称性符合整个空间点阵的对称性2 2）晶轴之间相交成的直角最多晶轴之间相交成的直角最多3 3）体积最小体积最小4 4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角第9页，共85页点阵、结构点阵、结构和单胞和单胞1.1.点阵：点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子分子)v点阵矢量：点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移v初基点阵矢量：初基点阵矢量：可选择的最小点阵矢量可选择的最小点阵矢量v初基晶胞初基晶胞：初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个点阵点阵点v晶体结构：晶体结构：原子在晶体中的周期性排列原子在晶体中的周期性排列它可以通过在每点阵它可以通过在每点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描述点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描述第10页，共85页不要混淆点阵点和原子不要混淆点阵点和原子1.1.阵点是在空间中无穷小的点阵点是在空间中无穷小的点2.2.原子是实在物体。

原子是实在物体3.3.阵点不必处于原子中心阵点不必处于原子中心晶体结构晶体结构=结构基元结构基元点阵点阵晶体结构是在每个晶体结构是在每个点阵点上安放一个点阵点上安放一个结构基元结构基元第11页，共85页三维晶胞的原子计数v在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享：1.顶角原子顶角原子1/82.棱上原子棱上原子 1/43.面上原子面上原子 1/24.晶胞内部晶胞内部1*第12页，共85页石墨晶体结构*第13页，共85页三维点阵和晶胞使用矢量a、b和c 指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢量(r)满足关系，r=ua+vb+wc,，其中u、v和w是整数指定晶体中的任意点：r=(u+x)a+(v+y)b+(w+z)c，其中u，v，w为整数r=(ua+vb+wc)+(xa+yb+zc)x,y,z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标分数座标x,y,z用晶胞边长的分数表示，在0-1之间变化晶胞原点的分数坐标总是0，0，0用相同分数座标x、y和z指定的所有位置都对称等价由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加减任意整数，仍然表示平移对称的等价位置第14页，共85页晶体学中的对称操作元素晶体学中的对称操作元素v分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的。

对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操方式组成的对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像这样的操作称为作后复原的图像这样的操作称为对称操作对称操作v在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称操作点对称操作，如简单旋转和镜像转动如简单旋转和镜像转动(反映和倒反反映和倒反)是是点式操作点式操作;使空间中所有点使空间中所有点都运动的对称操作称为都运动的对称操作称为非点式操作非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映如平移，螺旋转动和滑移反映第15页，共85页对称操作和对称元素对称操作和对称元素v对称操作对称操作：一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换前不一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换前不可区分（复原，重合）可区分（复原，重合）v对称元素对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面v点群点群：保留一点不变的对称操作群保留一点不变的对称操作群v空间群空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成；平移对称操作组合而成；由由 32 晶体学点群与晶体学点群与 14个个Bravais 点阵组合点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、而成；空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。

的组合第16页，共85页全同操作v(1)全同操作全同操作(Identity)，符号表示为，符号表示为1(E)，对对应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵为单位矩阵为单位矩阵矩阵表示注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因毛古因Hermann-MauguinHermann-Mauguin符号，括号内为熊夫利斯符号，括号内为熊夫利斯S Schnflies chnflies 符号第17页，共85页旋转轴v(2)旋转轴旋转轴(旋转轴旋转轴)：绕某轴反时针旋转绕某轴反时针旋转q q=360/n度，度，n称为旋转称为旋转轴的次数轴的次数(或重数或重数)，符号为符号为n(Cn)其变换矩阵为：其变换矩阵为：*第18页，共85页旋转矩阵*第19页，共85页晶体中的旋转轴限制练习题：1.平移对称性对旋转轴的次数n有很大的限制，证明在晶体学中只能出n=1,2,3,4,6的旋转轴v写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表示矩阵第20页，共85页矩阵乘法2次旋转矩阵*第21页，共85页倒反中心(Inversion center)倒反中心：也称为倒反中心：也称为反演中心反演中心或对称中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反它的操作是通过一个点的倒反(反演反演)，使，使空间点的每一个位置由坐标为空间点的每一个位置由坐标为(x、y，z)变换到变换到(-x，-y，-z)。

符号为符号为1(i)1(i)，变换矩阵为，变换矩阵为*第22页，共85页反映面-镜面v反映面，也称镜面反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反映面的距离等于原来点线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离符号为到反映面的距离符号为m(s s)v为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的法线如法线为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的法线如法线为为010的反映面，可记为的反映面，可记为m 010m010(x、y，z)=(x，-y，z)*第23页，共85页镜面类型和矩阵表示v关于对称平面（或镜面）关于对称平面（或镜面）的反的反映映，可以平行于，可以平行于(vertical，v)或或 垂直于垂直于(horizontal，s sh)主轴v在二个在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面，轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面，d（dihedral plane）通过yz面的反映第24页，共85页旋转倒反轴-反轴v旋转倒反轴，简称反轴旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion，Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操作其对称操作是先进行旋转操作(n)后立刻再进行倒反操作后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称为记为这样的复合操作称为记为组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称操作。

其矩阵表示为对称操作其矩阵表示为：*第25页，共85页旋转反映轴-映轴v旋转反映轴，旋转反映轴，简称映轴简称映轴(rotoreflection axis)，其对称操，其对称操作是先进行绕映轴的旋转操作作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂直于该映轴后立刻再对垂直于该映轴的反映面进行反映操作的反映面。