离散数期末复习1.ppt

•复习1中包含了，第1到第5章的内容：•1：命题、命题逻辑联结词命题、命题逻辑联结词–命题变元、合式公式命题变元、合式公式–重言式、永真蕴含、恒等式重言式、永真蕴含、恒等式–带入规则、替换规则带入规则、替换规则–对偶原理对偶原理–范式及其判定问题范式及其判定问题–命题演算的推理命题演算的推理•2：谓词、个体、量词谓词、个体、量词•合式谓词公式合式谓词公式•自由变元和约束变元自由变元和约束变元•含有量词的等价式和永真蕴含式含有量词的等价式和永真蕴含式•谓词逻辑中的推理理论谓词逻辑中的推理理论•前束范式、斯柯林范式前束范式、斯柯林范式3：集合的概念与表示方法• 集合的基本运算• 包含与排斥原理• 多重序元• 迪卡尔乘积•4：多重序元与笛卡尔乘积多重序元与笛卡尔乘积•关系的基本概念关系的基本概念•关系的性质关系的性质•关系的表示关系的表示•关系的运算关系的运算•合成关系的关系图、关系矩阵合成关系的关系图、关系矩阵•特殊关系：等价关系和划分，相容关系和覆盖，偏序关系特殊关系：等价关系和划分，相容关系和覆盖，偏序关系和哈斯图等。

和哈斯图等 •5：函数的基本概念函数的基本概念•函数的性质函数的性质•函数的合成、合成函数的性质函数的合成、合成函数的性质•特殊函数特殊函数•反函数、特征函数反函数、特征函数•基数基数•二元运算二元运算•１、求下列公式的主范式，并判定公式的属性•例1.1(pqr)(pqr)(pq)•解：上式=(pqr)(pqr)(pq)(r r)=(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)•=m7, m3, m1,m0其中表示析取•该公式含三个变元，与其等价的主析取范式四项，所以它是可满足的•例1.2 (p(qr))(p (q r))•解：上式＝ (p(qr)) (p(qr))•= (pq)(pr)(pq)(pr)•= (pqr)(pqr) • (pqr)(pqr) • (pqr)(pqr) • (pqr)(pqr)•=M4,M5, M6,M2, M3,M1其中表示合取•该公式是可满足的。

• •例1.3刚进入大学的小张与寝室里的其他三人聊天，这三个人根据小张的口音分别作出下述判断：•甲说：小张不是苏州人，是上海人•乙说：小张不是上海人，是苏州人•丙说：小张既不是上海人，也不是杭州人•小张听后，笑曰：你们三人有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半•试用命题逻辑推断小张究竟是哪里人•解：首先符号化：•设：Ｐ：小张是苏州人•　　Ｑ：小张是上海人•　　Ｒ：小张是杭州人•根据题意有：•甲：PQ,•乙： Q  P,•丙： Q  R•分析小张只可能是其中一个城市的人或者不是这三个城市的人 　　　•根据甲乙丙三人的说话内容可以判断：丙至少说对了一半，因此甲或乙必有一人全错了若甲全错了，则有Q  P即乙全对了若乙全错了，则甲全对所以丙必是一对一错•将小张的话符号化为：•((PQ) ((QR)(QR)))•((QP)((QR) (QR)))⇔T•化简得：￿(PQR) ( PQR)•小张不可能既是苏州人又是杭洲人，所以只能是上海人•例1.4甲乙丙丁４人中仅有两个人代表单位参加了市里的桥牌比赛，关于谁参加比赛，下列４种说法都是正确的：•１甲和乙两人中有一人参加；•２若丙参加，则丁必参加；•３乙和丁两人中至多参加一人；•４若丁不参加，则甲也不参加。

•试判断哪两个人参加了比赛•解：符号化命题如下：•设Ａ：甲参加了比赛；•Ｂ：乙参加了比赛•Ｃ：丙参加了比赛•Ｄ：丁参加了比赛•依题意将1,2,3,4分别符号化为：•((AB)(AB)) •(CD)(BD)(DA) ⇔T•　•将上式化为主析取范式应有24=16个极小项•即m0000, m0001, m0010, m0011, • m0100, m0101,m0110, m0111,• m1000, m1001, m1010, m1011, • m1100,m1101, m1110, m1111•根据题意去掉不合法的　•得到的结论是甲和丁参加了比赛•例1.5当p，q，r，s四个人考试成绩出来后，有人问四个人中谁的成绩最好，p说“不是我”，q说“是s”，r说是“q”，s说“不是我”四个人的回答只有一个人符合实际，问哪一位的成绩最好若有两人成绩并列最好，是谁？•解：令p: p的成绩最好；q：q的成绩最好；r：r的成绩最好；s：s的成绩最好•若只有p回答正确： p  s  q   s•若只有q回答正确：   p s  q   s•若只有r回答正确：   p  s  q   s•若只有s回答正确：   p  s  q  s•由于•(p  s  q   s) (  p s  q   s) (  p  s  q   s) (  p  s  q  s)•= (p q  s) (p  q  s)•=(p q  r s)  (p q  r s)  (p q  r  s)  (p q  r  s) •若只有一个人成绩最好，必是p q  r  s为真，即p成绩最好；若有两个人成绩并列最好，可能是p,s或者p,r练习：利用主范式判断下式的类型•(p→q)  (q→r) →((p  q) →r)•结果•= M4,M6,M2•该公式是可满足的•２、对下面的问题首先符号化，然后使用８条规则进行有效推理证明。

•2.1每一个自然数不是奇数就是偶数，自然数是偶数当且仅当它能被2整除，并不是所有的自然数都能被2整除因此，有的自然数是奇数•解法1：首先定义如下谓词：•N(x):x是自然数•Q(x):x是奇数•E(x):x是偶数•I(x):x能被2整除•于是问题可用符号表述为：•(∀x)(N(x)(Q(x)∇E(x))),•(∀x)((N(x) E(x)) ⇌￿I(x)),• (∀x)(N(x) I(x))￿，⇒(∃x)(N(x)  Q(x))•推理证明过程如下：•1 (∀x)(N(x) I(x)) P规则•2 (∃x)(N(x)   I(x)) T规则和1•3 N(a)   I(a) ES规则和2•4 N(a) T规则和3•5 I(a) T规则和3•6 (∀x)(N(x)(Q(x)∇E(x))) P规则•7 N(a)(Q(a)∇E(a)) US规则和６ •8 Q(a)∇E(a) 　　　　　　　T规则３和７•9 (∀x)((N(x) E(x)) ⇌￿I(x)) P规则•10 (N(a) E(a)) ⇌￿I(a) 　　　US规则和９ 11 (N(a) E(a)) T规则5和10•12 N(a)E(a) T规则和11•13 E(a) T规则4和12•14 Q(a) T规则8和13•15 N(a)Q(a) T规则4和14•16(∃x)(N(x)  Q(x)) EG规则和15•问题得证。

•解法2：采用反证法证明过程如下•1(∀x)(N(x) I(x))　　P规则•2(∃x)(N(x)   I(x)) T规则和1•3 N(a)   I(a) ES规则和2•4 N(a) T规则和3•5 I(a) T规则和3•6 (∃x)(N(x)  Q(x)) P规则(假设前提)•7 (∀x)( N(x)   Q(x)) T规则和6•8  N(a)   Q(a) US规则和７•9  Q(a) T规则４和8 •10 (∀x)(N(x)(Q(x)∇E(x)))　　　P规则•11 N(a)(Q(a)∇E(a)) T规则和10•12 Q(a)∇E(a) T规则4和11•13 E(a) T规则9和12 •14 (∀x)((N(x) E(x)) ⇌￿I(x))　　　P规则•15 (N(a) E(a)) ⇌￿I(a) 　　　US规则和14 16 N(a) E(a) T规则4和13•17 I(a) T规则15和16•18 I(a)  I(a) T规则5和17•19(∃x)(N(x)  Q(x)) F规则6和18•问题得证．• •例2.2天鹅都会飞，而癞蛤蟆不会飞；•所以癞蛤蟆不是天鹅。

•解：令TE(x):x是天鹅•　　　l(x):x是癞蛤蟆•　　　F(x):x会飞•于是问题可符号化为：•(∀x)(TE(x) F(x)), (∀x)(l(x) F(x))•⇒￿(∀x)(l(x) TE(x)).￿•证明过程如下：　　•1(∀x)(l(x) TE(x)) P规则(假设前提)•2(∃x)(l(x)  TE(x)) T规则和１•3 l(a)  TE(a) ES规则2•4 l(a) T规则3•5 TE(a) T规则3•6 (∀x)(TE(x) F(x)) 　　　P规则•7 TE(a) F(a) US规则和6•8 F(a) T规则5和7•9 (∀x)(l(x) F(x)) P规则•10 l(a) F(a) US规则和9•11 F(a) l(a) T规则和10•12 l(a) T规则8和11•13 l(a)  l(a) T规则4和12•14 (∀x)(l(x) TE(x)) F规则１和13•问题得证。

•　　　　　　 •例2.3 所有牛都有角，有些动物是牛，所以有些动物有角•解：设Ｎ(x):x是牛•　　　Ｊ(x):x有角• A(x):x是动物•于是问题可描述成：•(∀x)(Ｎ(x) →Ｊ(x)),(∃x)(A(x)∧Ｎ(x)) ⇒•(∃x)(A(x)∧Ｊ(x))•证明：•１、(∃x)(A(x)∧Ｎ(x))　　P规则•２、A(a)∧Ｎ(a) ES规则和１•３、 A(a)　　　　　　　T规则和２　•４、Ｎ(a) 　　　　　　T规则和２•５、(∀x)(Ｎ(x) →Ｊ(x))　 P规则•６、Ｎ(a) →Ｊ(a) US规则和５•７、Ｊ(a) 　　　　　　 T规则４和６•８、 A(a)∧J(a) 　　　 T规则3和7•９、(∃x)(A(x)∧Ｊ(x))　EG规则和８•　　•求解这一类问题时注意：把实际问题符号化时，全称量词对应逻辑联结词“”，存在量词对应逻辑联结词“”；推论时保证ES规则的首先使用使用UG规则时，由ES规则引入的客体不能进行推广，即不能加全称量词•３、关系是笛卡尔积的子集，因此关系是集合，是以序偶为元素的集合。

关系可以用关系图和关系矩阵来表示关系是集合，所以集合上的运算可以平移到关系上来，但关系还有自己独特的运算：求逆运算，复合运算(也叫关系的合成运算)，关系的闭包运算等•设Ｒ为X到Y的二元关系,S为Y到Z的二元关系：RoS={|(∃y)∈R￿∈S}•r(R)=R∪Ix•s(R)=R∪R~•t(R)= ∪i=1nRi•关系的性质：•1) R是自反的＝(∀x)(x∈X∈R)•2) R是反自反的＝(∀x)(x∈X∉R)•3) R是不自反的•　(∃x)(∃y)(x,y∈X∈R∉R)•4) R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X ∈R ∈R)•5) R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X∈R ∈Rx=y)• •6) Ｒ是不对称的=(∃x1)(∃y1)(∃x2)(∃y2)(x1,y1,x2,y2￿∈X∈R ∈R ∈R∉R)•7) R是可传递的=(∀x)(∀y)(∀z)(x,y,z ∈X∈R∈R∈R)•8) R是不可传递的=(∃x)(∃y)(∃z)(x,y,z￿∈R∈R∈R∉R) • •3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R不满足下列哪些性质？为什麽？•1)自反性　2)反自反性　3)对称性•4)反对称性　5)传递性•解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ•所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。

•2)因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ•即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的．•3)对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即•∈R,则y∩x≠Φ即∈R即R满足对称性 •4)取x={1,2},y={1,3}显然x∩y={1}=y∩x•即存在x,y并且∈R∈R但x≠y•即Ｒ不是反对称的•5)存在x={1},y={1,2},z={2}•并且x,y,z∈ρ(A)∈R∈R•但∉R即R不满足可传递性•3-2设S为集合A上的二元关系，证明S是自反的，传递的，则SoS=S其逆为真吗？•证明：关系是序偶为元素的集合，所以我们可以把证集合相等的方法用到证关系的相等上来即证SoS⊆S￿￿S￿⊆￿SoS即证明了SoS=S￿　•对任意x,y,z∈A和∈SoS,由复合关系的定义知应有∈S和∈S,而S是可传递的，于是∈S,由x,z的任意性知SoS⊆S，又Ｓ是自反的和传递的，所以对任何∈S和∈S应有∈SoS•即S￿⊆￿SoS,于是有SoS=S•其逆不一定为真，例如设A={1,2,3}•S={<1,2>,<2,2>,<1,1>}•我们做Ｓ的关系矩阵如下： 　 •　　　 1 2 3• 1 1 1 0•Ms= 2 0 1 0• 3　0 0 0•于是MSoS= Ms Ms= 1 1 0 1 1 0• 0 1 0  0 1 0 • 　0 0 0 　 0 0 0 • 1 1 0• = 0 1 0 = Ms• 0 0 0•显然Ｓ不是自反的，主对角线不全是１。

• •例3-3 设R是复数集合C上的关系，定义如下：•R={| x,y ∈C 且x-y=a+bi，其中，a,b均为非负整数}•试确定R的性质，并说明原因•解: (1)对于任意x∈C，因为x-x=0+0i，所以 ∈R，因此R是自反的；•(2)由(1)知,<1,1> ∈R，因此R不具有反自反性；•(3) 取x=3+2i, y=2+i，此时x-y=1+i， ∈R，但是y-x=-1+(-1)i，不属于R，因此R不是对称的；•(4)任取x,y ∈C，若 ∈R且 ∈R，x-y= a+bi, y-x=-a+(-b)i，则a,b,-a,-b都必须是非负整数，于是a=b=0，因而，x=yR是反对称的•(5)对于任意的x,y,z ∈C，若 ∈R且 ∈R，则x-y=a+bi(a和b都是非负整数), y-z=c+di(c,d都是非负整数)，于是x-z= (x-y)+(y-z)=(a+c)+(b+d)i，由于a+c,b+d都是非负整数，因此 ∈R.由x,y,z取值的任意性可知，R是可传递的•故R具有自反性、反对称性、可传递性。

•3-4确定三角形之间的相似关系具有哪些性确定三角形之间的相似关系具有哪些性质•解：自反性、对称性、可传递性•3-5设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{,,,}, S＝{,,,}. •计算R◦S, R∪S, R－1, S－1◦R－1 •解法１： R◦S={,}• R∪S= {,,,,,,}• R－1={,,,}• S－1◦R－1={,}•解法2通过矩阵求• a b c d • a 1 0 1 0 • b 0 0 1 0•MR= c 0 0 0 1• d 0 0 0 0• a b c d • a 0 1 0 0• b 0 0 1 1 •Ms= c 0 0 0 0• d 0 0 0 1•R◦S= MR Ms=• 1 0 1 0 0 1 0 0 • 0 0 1 0  0 0 1 1 • 0 0 0 1 0 0 0 0• 0 0 0 0 0 0 0 1• 0 1 0 0 •= 0 0 0 0• 0 0 0 1• 0 0 0 0• •R∪S= MR ∨Ms•= 1 0 1 0 0 1 0 0 • 0 0 1 0 ∨ 0 0 1 1 • 0 0 0 1 0 0 0 0• 0 0 0 0 0 0 0 1• 1 1 1 0 •= 0 0 1 1 • 0 0 0 1• 0 0 0 1•R－1=(MR)T= 1 0 0 0• 0 0 0 0• 1 1 0 0• 0 0 1 0 • • 0 0 0 0 • 1 0 0 0•S－1=(MS)T= 0 1 0 0 • 0 1 0 1• •S－1◦R－1 = MS－1MR－1 • = 0 0 0 0 1 0 0 0 • 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0• 0 0 0 0•= 1 0 0 0 • 0 0 0 0• 0 0 1 0•3-6 设设R和和S分别是集合分别是集合A和集合和集合B上的等价关系，上的等价关系，令令•T={<,>| ∈ ∈R , ∈ ∈S}•试证明：试证明：T是是A×B上的等价关系。

上的等价关系•证明： (1)任取∈A×B，由于R和S是等价关系，因此，∈R, ∈S，于是<,>∈T，于是T是自反的；•(2) 任取,∈A×B，若<,>∈T，则∈R , ∈S，由于R和S都是等价关系，因此∈R，∈S，于是可得<,>∈T由,的任意性可知，T是对称的；•(3) 任取,,∈A×B，若<,>∈T且<,>∈T，则∈R , ∈S，∈R , ∈S由于R和S是可传递的，因此∈R , ∈S于是可得<,>∈T由,,的任意性可知，T是可传递得•综上所述，T是A×B上的等价关系 •3-7 设设A={a,b,c,d}，，R={,,,}∪ ∪IA，，•(1)验证R是A上的等价关系；•(2)求出商集A/R。

•解： (1) 由于IA∈R，因此任取x∈A，∈R，R是自反的；由于R=RT，因此R是对称的；由于∈R, ∈R,∈R, ∈R; ∈R, ∈R, ∈R,∈R，因此R是可传递的因此R是A上的等价关系•(2)由于[a]R={a,c}=[c]R, [b]R={b,d}=[d]R, 因此A/R={[a]R,[b]R}={{a,c},{b,d}}•3-8 设设R是偏序关系，指出下列运算后的关系是否是偏序关系，指出下列运算后的关系是否是偏序关系是偏序关系•R∪∪S, R∩S, R-S, R⊕⊕S,R◦S•解：•(1)取A={a,b}, R={,,}, S={,,}，则R和S都是A上的偏序关系，而R∪S={,,, }不是反对称的， R∪S不是A上的偏序关系•(2)任取x ∈A, 由R和S是偏序关系，知 ∈R, ∈S,因此 ∈ R∩S, R∩S是自反的；任取x,y ∈A, 若∈ R∩S, 且 ∈ R∩S，则 ∈ R, ∈ S, ∈ R, ∈ S，因为R和S都是反对称的，因此x=y，于是R∩S是反对称的；•(2)（续）任取x,y,z ∈A, 若∈ R∩S, 且 ∈ R∩S，则 ∈ R, ∈ S, ∈ R, ∈ S，因为R和S都是可传递的，因此 ∈ R, ∈ S，于是 ∈ R∩S, R∩S是可传递的。

综上所述， R∩S是A上的偏序关系•(3)例子同(1)，R-S={}，不具有自反性，因此R-S不是A上的偏序关系•(4)例子同(1)，R⊕S={,}，不具有自反性和反对称性，因此R⊕S不是A上的偏序关系•(5)取A={a,b,c}, R={,}∪IA,S={ , } ∪IA,则R和S都是A上的偏序关系，而R◦S={,,,}，不具有反对称性，因此R◦S不是A上的偏序关系•3-93-9设有函数设有函数f: I→I(I表示整数集表示整数集)，定义为，定义为f(x)=|x|-2x，试问，试问 f 是否为内射是否为内射(即单射即单射)，，满射或双射？满射或双射？ •解：根据f的定义•当x=0时，f(0)=0-0=0•当x>0时，f(x)=x-2x=-x (<0)•当x<0时，f(x)=-x-2x=-3x (>0)•因此，有如下对应关系：•x: …… -3 -2 -1 0 1 2 ……•f(x): …… 9 6 3 0 -1 -2 ……•可知f是内射，不是满射，不是双射。

•3-10 设有函数设有函数g: A→B, h: A→B，函数，函数f: B→C，已知，已知f◦g=f◦h，且，且f是单射，试证明是单射，试证明g = h•证明：任取x∈A，令g(x)=b1, h(x)=b2，则f◦g=f(b1), f◦h=f(b2)•由f◦g=f◦h可知，f(b1)=f(b2)•因为f是单射，因此b1=b2，即g(x)=h(x)由x取值的任意性可知，g = h•3-11 设有函数设有函数f: A→B和和g: B→C，使得，使得g◦f是一个是一个单射，且单射，且f是满射证明是满射证明g是一个单射举出一个是一个单射举出一个例子说明，若例子说明，若f不是满射，则不是满射，则g不一定是单射不一定是单射•证明：任取b1,b2∈B，并设b1≠b2，因为f是满射，因此一定存在a1,a2∈A，使得f(a1)=b1, f(a2)=b2由于b1≠b2，由函数的定义知a1≠a2•又因为g是由B到C的函数，所以一定有c1,c2∈C，使得g(b1)=c1, g(b2)=c2•于是，g◦f(a1)=g(b1)=c1, g◦f(a2)=g(b2)=c2因为g◦f是单射，且a1≠a2，因此c1≠c2，也就是g(b1)≠g(b2)。

由b1,b2取值的任意性知，g是单射•举例如下：当f不是满射时，g不一定是单射•3-12设A＝{a,b,c,d,e}，回答下列问题，并说明理由：•1)A上共有多少种二元关系？•2)上述二元关系中有多少个是等价关系？•解1)A上的二元关系是AxA的子集，而 AxA的基数＝25，所以Ａ上有225种不同的二元关系•解2)等价关系和划分相对应，对于Ａ的划分有下面几种情形：•(1)分成５块的一种，每块只含一个元素•(2)分成４块，其中一块含有２个元素，另3块均含有１个元素有：C52=10种•(3)分成3块，其中2块含有2个元素,另一块含有1个元素有(1/2)C51 C42=15种•　分成3块，其中1块含有3个元素，另2块含有1个元素，共有C53=10种•(4)分成2块，其中1块含有3个元素，另一块含有2个元素，共有C53=10种•　分成2块，其中1块含有4个元素，另一块含有１个元素，共有C51=5种•(5)分成1块，共有１种综上,A上的等价关系共有：1+10+15+10+10+5+1=52种　　•3-13设A为含有n个元素的集合，则A上有多少个不同的等价关系？其中秩为2的划分有多少种？•解：A上有多少种划分就有多少种等价关系，这个划分的数叫Bell数。

Bell数没有通项公式，但有一个递推公式：B(n+1)=C(0,n)B(0)+C(1,n)B(1)+...+C(n,n)B(n)；C(k,n)就是在n个数里选k的数的选法个数•Bell数的前几项是：B(0)=1,B(1)=1,B(2)=2,B(3)=5,B(4)=15,B(5)=52,B(6)=203•A上秩为2的划分共有=2n-1-1种•在一个集合定义一个等价关系相当于把这个集合划分成许多子集的集这里假如不懂请追问）于是求等价关系的数目，就是求划分的数目这个很好证明：取第n+1个数，并考虑除了含有它的那个部分以外所有其他的部分含有它的部分的元素个数从1到n+1都有可能，而剩下的数就是从n到0而每次我们可以挑选剩下来的数，所以就有C(k,n)从上面的递推公式我们还可以得到下面的表达式：(Dobinski公式)B(n)=(1/e)(1^n/n!+2^n/n!+3^n/n!...)（一直加到正无穷）这个其实就是泊松分布的第n个矩阵•3-14设f:A→B的映射，指出满射和单射的条件及相应的个数：•解：满射的条件是|A|≥|B|• 单射的条件是|B|≥|A|•设A中有m个元素，B中有n个元素，则•m=n时，存在A→B的双射函数n!个或m!个•mn时，存在A→B的满射函数个数为　•简单的求满射函数个数解题过程简单的求满射函数个数解题过程•说明：m表示定义域A中元素的个数，n表示陪域B中元素的个数。

•思路：在所有映射中刨除没有映满的情形•所有映射的总数为：nm个• 未映满总数为：未映满可分为n-1种情况，即映满1个，映满2个等直到映满n-1个所以未映满总数为n-1种情况的和•3-15 偏序集偏序集的哈斯图如下图，的哈斯图如下图，•(1) 求集合求集合A的最大元素、最小元素、极大元素和极的最大元素、最小元素、极大元素和极小元素小元素•(2) 求子集求子集{b,c,d}的上界、下界、上确界和下确界的上界、下界、上确界和下确界•解： (1) 集合A的最大元素是a, 最小元素不存在，极大元素是a，极小元素为d和e；•(2)子集{b,c,d}的上界是a，下界是d，上确界是a，下确界是d •3-16 画出集合画出集合A={2,5,8,10,16,40}上整除关系的上整除关系的hash图，并找出图，并找出A的最大成员、最小成员、极大成的最大成员、最小成员、极大成员、极小成员员、极小成员解：没有最大成员，也没有最小成员极大成员是16，40，极小成员是2，5。