第四讲中值定理与不等式证明.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑第四讲中值定理与不等式证明 第五讲 中值定理及不等式证明 考试内容精讲 一、连续函数的介值定理 1、(介值定理)若函数f?x?在?a,b?上连续,?是介于f?a?与f?b?(或最大值M与最小值m之间的任一实数,那么在?a,b?上至少?一个?,使得f?????.?a???b? 2、(零点定理或根的存在性定理)设函数f?x?在?a,b?上连续,且f?a??f?b??0,那么在?a,b?内 至少?一个?,使得f????0.?a???b? 二、微分学中值定理 1、(费尔马定理)若函数f(x)得志条件： (1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)?f(x0)或f(x)?f(x0) (2)f(x)在x0处可导 那么有f?(x0)?0 几何意义：若函数f(x)在x?x0处取得极值，那么相应的曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?处存在切线，若切线不垂直x轴，那么切线必平行于x轴 2（罗尔定理）设函数f(x)在[a,b]上得志三个条件:(1) f(x)在[a,b]上连续; (2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)?f(b),那么存在??(a,b)使f?(?)?0。

几何意义：若连续曲线y?f(x)在A?a,f(a)?，B?b,f(b)?两点间的每一点都有不垂直于x轴的切线，又A,B两点纵坐标相等，那么A,B间至少存在一点P??,f(?)?，使得在处的切线平行于必x轴 【推论】：设函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)的最大（小）值在点 ??(a,b)达成，那么f?(?)?0 3.（拉格朗日定理）设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 那么存在??(a,b),使f?(?)?f(b)?f(a) b?a【评注】1.拉格朗日中值公式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，??(a,b) 2.有限增量公式f(x0??x)?f(x0)?f?(?)?x 或f(x??x)?f(x)?f?(x???x)?x,0???1. 3．涉及一个函数的函数变更量与函数某点导数关系的命题，一般可用拉格朗日定理处理 【推论】1）：若f(x)在(a,b)内可导，且f'(x)?0，那么f(x)在(a,b)内恒为常数 2）.若对?x??a,b?，有f?(x)?g??x?，那么f(x)?g?x??C，其中C为一常数。

4(柯西定理)设函数f(x)和g(x)得志条件:(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,且 g?(x)?0,那么存在??(a,b),使f?(?)f(b)?f(a) ?g?(?)g(b)?g(a)【评注】涉及两个不同函数的函数变更量与其在某点导数关系的命题，一般可用柯西中值定理定理处理 5（泰勒公式) 定理1（拉格朗日余项） 设f(x)在x0的邻域I内有直到(n?1)阶导数,那么对?x?I,至少存在一个?使 f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)2!n! f(n?1)(?)其中 Rn(x)?(x?x0)n?1 ?在x0与x之间. (n?1)!定理2（皮亚诺余项）设f(x)在x0点n阶可导,那么 f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x) 2!n!其中 Rn(x)??(x?x0)n, (x?x0)． 【评注】1）若泰勒公式中x0?0，那么称该公式为麦克劳林公式应熟记简朴初等函数的麦克劳林公式: x2xn1?xn?1e?1?x?????ex [余项或?(xn)] 2!n!(n?1)!xx31x2k?1k?12k?1ksinx?x????(?1)x?(?1)cos?x[余项或?(x2k)] 3!(2k?1)!(2k?1)!2k?1x21xcosx?1????(?1)k?1x2k?(?1)kcos?x[余项或?(x2k?1)] 2!(2k)!(2k?2)!(1?x)??1??x??(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn??(??1)?(??n)(n?1)!(1??x)??n?1 [余项或?(xn)] nn?1x2x3xxln(1?x)?x?????(?1)n?1?(?1)n(1??x)?n?1 23nn?1(x?1) [余项或?(xn)] 【练习1】(1)求函数f(x)?tanx的一阶麦克劳林公式; (2)当x0?4时,求函数y?x的一阶泰勒公式. 解(1)f(x)?tanx f?(x)?sec2x f??(x)?2sec2xtanx f(0)?0 f?(0)?1 f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)2x 2!tanx?x?sin?2x ?在0与x之间. 3cos?(2) 当x0?4时,求函数y?x的一阶泰勒公式. 1f??(?)(x?4)2 23f(x)?f(4)?f?(4)(x?4)?f(4)?21f?(4)?41?f??(x)??x2 43111?2?x?2?(x?4)?(??)(x?4)2. 424 三、积分学中值定理 假设f?x?在区间?a,b?连续，那么在?a,b?至少存在一点?，使 ?f?x?dxab?b(?a)f(?)，常 1bf?x?dx 为函数f?x?在区间?a,b?的平均值 称 b?a?a常考题型与典型例题 【题型一】闭区间上连续函数的命题 方法一（直接法）先利用最值定理m?f(x)?M，然后利用介值定理 适用于：在闭区间[a,b]上存在?，使得关于?的关系成立 方法二（间接法）作辅佐函数F(x)，若作F(x)的过程无积分运算，那么验证F(x)得志零值定理，若作F(x)的过程有积分运算，那么验证F(x)得志罗尔定理 适用于：在开区间(a,b)上存在?，使得关于?的关系成立 辅佐函数的作法： 1）将欲证结论?改为x 2）移项整理使一端为0，另一端记为F3）令F(x)?F???x? ?x?，若F??x?得志零值定理，那么F??x?为辅佐函数。

?4）若不得志那么改令F'(x)?F??x?，此时F(x)?F?x?dx，（令不定积分常数为零） ??再验证F(x)?F?x?dx是否得志罗尔定理，若得志那么得证 ?5）若不得志那么令F(x)?F''?， ?x??F(x)（两次积分） 再将F(x)在指定点开展成一阶泰勒公式，命题即可得证 【例1】（02,3）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点??[ab,]，使 f(x)g(x)dxf?(?)g(x)dx ??bbaa【详解】方法1：由于f(x)与g(x)在?a,b?上连续，所以存在x1x2使得 f(x1)?M?maxf(x)，f(x2)?m?minf(x)， x?[a,b]x?[a,b]得志m?f(x)?M．又g(x)?0，故根据不等式的性质mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) 根据定积分的不等式性质有m?bag(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx, aabb?所以 m?baf(x)g(x)dx?bag(x)dx?M. ?由连续函数的介值定理知，存在??[a,b]，使f(?)?即有 baf(x)g(x)dx?b ag(x)dx?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx． ab【例2】（00,3）设函数f(x)在?0,??上连续，且 ??，试证f(x)dx?0,f(x)cosxdx?0??00明：在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2，使f (?)?f(?)?0.12【证明】方法1：令F(x)?又由题设 ?x0f(t)dt,0?x??，有F(0)?0,由题设有F(?)?0. ??00??0f(x)cosxdx?0，用分部积分，有0??f(x)cosxdx??cosxdF(x) ?F(x)cosx再令G?x??x0?0??F(x)sinxdx??F(x)sinxdx 00???F?x?sinxdx，那么G?0??G????0，即在区间上得志罗尔定理条件 故存在??(0,?)使G?(?)?0，即F???sin??0；由于??(0,?)，sin??0，所以推知存在??(0,?),使得F(?)?0. 再在区间[0,?]与[?,?]上对F(x)用罗尔定理，推知存在 ?1?(0,?)，?2?(?,?)使F?(?1)?0,F?(?2)?0，即 f(?1)?0,f(?2)?0 【练习】设f(x),g?x?在?a,b?上连续，证明：????a,b?使 f????g?x?dx?g????f?x?dx ?ab?【详解】【证明】F(x)?又F(a)?aa?xag?t?dt?f?t?dt，那么F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导， bbbabx?g?t?dt?f?t?dt?0，F(b)??g?t?dt?f?t?dt?0所以，F(x)在?a,b?上 ab得志罗尔定理，故????a,b?使得F(?)?0，即f???'??bg?x?dx?g????f?x?dx a?【例3】（98,2）设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以 y?f(x)为曲边的梯形面积. — 7 —。