方差分析与正交设计.docx

第五章方差分析与正交设计§ 1.单因素方差分析在实际问题中，人们常常需要在不同的条件或不同的状态下.对所研究的对象进行对比试验，从而得到若干组数据（样本）方差分析就是•种分析、处理多组试验数据均值间差异显著性的统计 分析方法其主要任务是通过对数据的分析处理，搞清各试验条件以及它们所处的状态对试验结果（又称试验指标）的影响，以便有效地指导实践，提高经济效益或科研水平1.1 基本概念例1某灯泡厂用四种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同今由每批灯泡中随机地抽取若干个灯泡，测得使用寿命（单位：h）数据如衣（1）所示，现在要求推断出灯泡使用寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异表(1)灯泡寿命 灯丝12345678Ai1600161016501680170017001780A215001640140017001750A316401550160016201640160017401800A4151015201530157016401680如果在•项试验中，只有•个因素变化，其他因素保持不变，我们称这种试验为单因素试验因素所 处的状态称为水平本例考虑的是一个因素即灯丝，这个因素具有四个水平，即四个不同材料的灯丝，Ai,A2, A3,A4 c从表中的数据看•到，即使对于同•种材料的灯丝，虽然生产条件都一样，但灯泡的使用寿命还是可以不相等的.这说明灯泡的使用寿命是一-随机变量。

现在用1,2, 3, 4表示四种材料的灯丝所生产的灯泡的使用寿命，这样就有四个总体若从这四个总体中分别随机地抽取容量为仆的样本10…，in,i 1,2,3,4,我们应用这四个样本来推断四个总体之间有无显著差异要判断不同灯纥材料的灯泡对使用寿命的影响问题，就是要辨别使用寿命之间的差异是主要由抽样误差造成的还是由灯丝材料不同造成的这•问题可以归结为判断四个总体是否具有相同的分布另外，在方差分析中，总是假定各总体相互独立，且都服从正态分布由于除因素外，试验的其他条件都认为相同，这样就可以假设每个总体的方差相同 因此推断四个总体是否具有相同分布的问题，就归结为检验四个具有相同方差的正态总体，其均值是 否相等的问题实际上，方差分析就是检验若干个具有相同方差相互独立的正态总体，它们的均值是 否相等的一种统计分析方法 前几章中我们曾介绍了检验两个正态总体均值间差异显著性的t检验法现在对多个正态总体，我们能否仍用t检验法两两进行检验呢？结论是否定的设想有十组数据，客观上它们来自同•正 态总体，因而有相同的均值在这种情况下，任取两组数据采用t检验法检验其均值是否相等设=0.05,则接受假设认为两组均值相等的概率为1一 =0.95o但从十组数据中任取两组，共有C：。

45种不同的取法，所以接受H的概率为（0.95） 45 - 0.099.客观上十组数据均值相等，而采用t检验法两两检验时，犯第•类错误（认为至少有两组均值不等）的概率为0.901由此可见，当组数增多时，采用t检验法两两检验时，犯第一类错误的概率将大大增加，使我们判断的结果很不可靠波兰数学家R.A.Fisher（1923）提出的方差分析法，可同时判断多组数据均值间差异的显著性下面给出 单因数方差分析的•般概念设有p个相互独立的正态总体i, i 1,2,…pi~N（ i, 2）设…，in是从第i个总体i中抽取的容量为山的简单随机样本 I由于尸（i 1,2,…,p ： j1,2,…,nJ,可与i的差q—i可以看成是个随机误差因此耳满足(1)而广N且互相独立，其中i ； j 1,2,…四要求检验假设2-1.2 统计分析F面构造检验假设Hop用的统计量记(2)这是第i个总体j的样本均值，也叫做组平均值称1Poipijnu⑶n iijin i 1为总平均值n是从p个总体抽得的样本的总容量由（2） , （3）两式可得1 P、'（. q）=0n iiji由此得到P%打=（"Y = Pm ［（U i） （■）］2i1j1Hj1

它是描述所得全部数据Se> Sa两项之和我们再来看Ss、Sa的意义记离散程度的•个指标由上式知，总偏差平方和可以分解为1 pftii n ii是各均值的平均,叫做均值的总平均12…p它是各总体的均值与理论总均值的差异i称为因素的第i个水平的效应.易知p个效应满足关系式当假设H- 1= 2 =P成立时，由(5)式可得1:P =,从而(i 1,2,…,p)故假设Ho也可写为式(1)用水平的效应表示，可以写成”,…g)此时riijinij其中1 %是第i个总体样本误差的平均，又riiji1 p - 1 p= rii i = rii (n ii n np-+ n i i = n ii其中n.表示所有样本误差的平均，从而有n iin uji由这两式可以看出,Ss仅依赖于随机误差勺，Sa除与随机误差有关外，还与各水平间的效应i 口一有关这就是引起另i个在一定程度上是由各总体均值如何构造检验统计量呢？这可以从..”i户所以ESe=E (ij i)2 1m (m - 2 = (n pjj1ESa=E )2则有ES12 ES；由此可见，不论对 i的假设如何,P成立时，它才是明比值2fS2 82 储)Se1u波动的两个原因：一个纯粹是由随机误差 g引起的,i之间的差异引起的。

Se,Sa的数学期望得到启发，因为m(0 y1响 外卜1) 2i 1r)i( । )2-S12是2的一.个无偏估计，而 S：仅当假设H2的一个无偏估计，否则它的期望值要大于 2这说在假设H不成立时，有偏大倾向i) o, il,2j：P,所以它的秩为P,对于Sa,它含有一个线性关系秩为1由于(n P) + (P 1) +1= n立，且ni( ।)二0,所以它的秩为p 1对于n ()2其故由Cochran定理知，当假设Ho成立时，一」和“相互独F面讨论F的分布成立时p=,此时， lN().干昂由(4)式有p叫写户 芳)(一乎nn(ii )2*+2勺)()( ij)2n()2=Se+ Sa+ n( )2o对于Se,它有P个线性关系(n P),(P1),Fss2由此知(n p)sa~f(p l,n P)o (P 1)Se给定显著性水平，由F分布的分位数知P{F Fi(p1,np)}=o当F的观察值F(pl.np)时，拒绝假设Ho,否则认为试验结果与假设Ho无显著差异为应用方便起见.将上面讨论中所需的结果列成方差分析衣，如表(2) o例2检验例1的四种灯丝材料对灯泡使用寿命是否有显著影响(=0.05) o解4n = □ =7+5+8+6=26 , i1计算得Sa =44360.7, Se=151350.8，竺 6—4786.9 , p 13S2 旦=151八=6879.58,n p 26 4应皿25。

1879.58把计算结果整理列成下面的方差分析表（表（3））o表（2）方差来源平方和自由度均方和F值因素的影响PSa= n (i)2i1p 1Sf5Ap1s；误差Pn1.se=( iji>i1j1nps2 Senp总和Pn1.盯=(0)2i1j1n 1S2 -San 1表（3）方差来源平方和自由度均方和F值因素的影响Sa=44360.7p 1 =32S2 14786.92.15误差Se=151350.8n p=222Si 6879.58总和St =195711.5n 1 =25S 7828.46这里F的自由度为（3,22）,若给定显著性水平=0.05,查得临界值Fi （3,22） =3.05因为F=2.15<3.05=Fi （3,22）,故应接受H-即认为四种灯丝生产的灯泡其平均使用寿命之间没有显著的差异§ 2 •双因素方差分析在实际问题中，影响试验结果（试验指标）的因素往往都不止一个，而是两个或更多此时，要分析 因素的作用，就要用到多因素试验的方差分析这里只讨论两个因素的方差分析至于更多因素的 问题，用正交试验法比较方便在两个因素的试验中，不但每•个因素单独对试验起作用 这种作用叫做这两个因素的交互作用。

例如，有些合金，,往往两个因素会联合起来起作用当单独加入元素A或元素B时,性能变化不大，但当两者同时加入时，合金性能的变化就特别显著交互作用在多因素的方差分析中 把它当成•个新因素来处理2.1 不考虑交互作用的方差分析设因素A有p个不同的水平A,A2,-,Ap；因素B有q个不同水平B-B2,…,Bq,对每种情况(A, Bj)进行一次独立试验，共得pq个试验结果j(i1,2, -,p； j1,2,…,q),如表⑴所示表(1)f因素B因素B1B2%平均值一iA11121q1A221222q21111111111App1P2pqP平均值一 j2q=其中i 1 q1p.ij, J %j = P i1_1 pq一IJ-pq iiji设j是相互独立的服从正态分布N( j, 2)的随机变量，即j是从服从正态分布N(j, 2)的总体中抽得的样本由于认为A,B两个因素间不存在交互作用，故假定其均值尸 +i+j, i 1,2,…,p： j 1,2,…,q,其中.pq iijii为因素A的第i个水平的效应，它表示因素A的各个水平的影响的大小j为因素B的第j个水平的效应，它表示因素B的各个水平的影响的大小«j,i 12 …,p ,j = j— , J 1,2,-,q,则显然有pq=0j=%i1j1这样，无交互作用的方差分析模型为ij = + i+j+。

i1,2,…,p； j 12…,q，(1)pqi=0, j=o, i1j12弓iid,广N(O,)符号“ iid ”衣示独立同分布.因此要判断因素 A的影响是否显著，就等价于要检验假设H oi :1 = 2=. * , =p =0c要判断因素B的影响是否显著，就等价于要检验假设H 02 ：1 =2=.= q=0o下面来寻找检验统计量和前面类似，将总偏差平方和St进行分解：pqpqS 尸 c )2=(())2i1j1i1j1=q户：(2其中S。