高中数学第三章推理与证明3.4运用反证法要善于制造“矛盾”素材北师大选修120925388.doc教研总结 教育.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可高中数学第三章推理与证明3.4运用反证法要善于制造“矛盾”素材北师大选修120925388.doc 教研总结 教育 运用反证法要擅长“制造〞矛盾 反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思索问题的证明方法，是解决某些“疑难〞问题的有力工具．反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出矛盾，依靠矛盾推翻假设,从而证明原命题成立的. 反证法的应用特别广泛,用反证法证明命题“若p则q〞时，我们经常需要“制造〞以下四种“矛盾〞. 一.与原命题的条件矛盾； 例1.组装甲、乙、丙三种产品，需要A,B,C三种零件，每件甲产品用零件A,C各2个；每件乙产品用零件A 2个，零件B 1个；每件丙产品用B,C各1个，如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下2个A零件，1个B零件，C零件都恰好用完，试证无论如何转变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A，B，C用完． 解假设组装甲x件，乙y件，丙z件，零件A,B,C恰好用完，则有方程组 解得，方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立． 点评 此题的结论是“不管怎样转变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A,B,C用完〞, A,B,C不能用完的状况有多种，而结论的反面是“零件A，B,C都恰好用完〞，这只有一种确定的状况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反面出发，较易证．通过推理得到的结果与题设矛盾. 练习 1.设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。

求证AC与平面SOB不垂直 S C A O B 证明 假设AC⊥平面SOB， ∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB， ∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O， 这明显出现矛盾，所以假设不成立 即AC与平面SOB不垂直 2.若函数fx在区间[a,b]上是增函数． 求证方程fx0在区间[a,b]上至多有一个实根． 证明假设方程fx0在区间[a,b]上有两个实根x1 ,x2. 则fxl〕fx2〕0,这与函数f x在区间[a,b]上是增函数矛盾． 故方程fx0在区间[a,b]上至多有一个实根． 二.与假设矛盾 例2.求证抛物线没有渐近线. 分析 此题已知条件太少,直接证明难度太大,可以运用反证法. 证明设抛物线的方程是 假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，易知、都不为0因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 的两组解的倒数都是0 将〔2〕代入〔1〕，得 〔3〕 设、是〔3〕的两个根，由韦达定理，可知 ， 则， 〔4〕 ， 〔5〕 由〔4〕、〔5〕，可推得， 这于假设矛盾 所以，抛物线没有渐近线。

点评 利用假设作条件,经过推理论证,得出的结论与假设矛盾. 练习 1.设函数fx对于定义域内任意实数都有fx≠0,且fx＋yfxfy成立．求证对于定义域内的任意x都有fx0. 解析 假设满足题设条件的任意x,fx＞0不成立，即存在某个x0，有fx00，Ax1，y1〕,Bx2,y2〕Cx3, y3〕,Dx4,y4〕是抛物线上的不同四点，则有axi,〔i1，2，3，4〕，于是， 同理,,. 假定ABCD是平行四边形，则kAB kCD , kBC kDA，从而得yl y3 , y2y4，进而得x1x3，x2x4，于是A、C重合,B,D重合，这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾． 故ABCD不行能是平行四边形． 三.导出一个恒假命题． 例3. 已知p3 q32，求证pq≤2. 分析此题已知为p、 q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑反证法． 证明假设pq2，那么p2-q， ∴p3＞2-q38-12q6q2-q3． 将p3 q32，代入得6q2-12q60， 即6q-12＜0. 由此得出矛盾．∴pq≤2. 点评q-12不行能小于0. 6q-12＜0是一个恒假命题．当命题“结论反面〞比“结论〞更为明确具体时,宜用反证法. 练习 1.平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不行能都是锐角三角形． 证明如图，假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形．记这四个点为A,B,C,D. 考虑△ABC,点D在△ABC之内或外两种状况． 〔1假如点D在△ABC内，由假设点D处的三个角都是锐角，其和小于2700，这与一个周角等于3600矛盾． 2〕如图，假如点D在△ABC外，由假设∠A，∠B，∠C，∠D为锐角，这与四边形内角之和等于3600矛盾． 综上所述，命题成立． 2.已知a,b,c∈0，1，求证b,1-bc,1-ca不能同时大于． 证明假设三式同时大于，即b＞，1-bc＞,1-ca ＞. 因为Oa0，所以， 同理,, 三式相加得，矛盾，即假设错误，所以原命题成立． 四.这与定理公理产生矛盾 例4.过平面上的点A的直线，求证是唯一的。

证明假设不是唯一的，则过A至少还有一条直线， ∵、是相交直线， ∴、可以确定一个平面 设和相交于过点A的直线 ∵，，∴， 这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于，这与定理产生矛盾 所以，是唯一的 点评 此题利用假设,经过推证,与公理、定理产生矛盾 适合用反证法证明的数学命题． ①结论本身是以否认形式出现的一类命题． ②关于唯一性、存在性的命题． ③结论是以“至多〞“至少〞等形式出现的命题． ④结论的反面比原结论更具体、更简单讨论的命题． 练习 1.求证两条相交直线有且只有一个交点． 证明 假设结论不成立，则有两种状况或者没有交点，或者不只一个交点． 1假如直线a.b没有交点，那么a∥b,这与已知矛盾； 2假如直线a.b不只有一个交点，则至少交于点P,P’，这样经过两点P, P’就有两条直线a.b,这与两点确定一条直线矛盾． 由1和2可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点． 2.求证直线与圆至多有两个交点． 证明 如下图，假设直线与圆O至少有三个交点A,B,C，取AB,BC中点D,E,连OD,OE,则 OD⊥AB,EO⊥BC,于是OD⊥, OE⊥，这与过直线外一点能且只能作该直线的一条垂线相矛盾，所以假设不成立，故直线与圆至多有两个交点． 4第 6 页 共 6 页。