抛物线的性质归纳及证明.docx

精选优质文档-----倾情为你奉上抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为,,倾斜角为,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.1.求证：①焦半径；②焦半径;③＋＝； ④弦长| AB |＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(=90°)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋，| BF |＝| BC |＝x2＋， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cosq，∴| AF |＝＝同理，| BF |＝＝∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝＋＝ .S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝| OF || y1 |＋| OF || y1 |＝··(| y1 |＋| y1 |)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |∴S△OAB＝| y1－y2 |＝＝＝＝ .2. 求证：①；②；③ ＋＝.当AB⊥x轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴..3.求证：Rt∠.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).∴kAM＝＝＝＝＝，同理kBM＝CDBRAxyOF图41234M∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【证法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).∴＝(x1＋，)，＝(x3＋，)∴·＝(x1＋)(x2＋)＋＝x1x2＋(x1＋x2)＋－＝＋(＋)＋－＝＋＝＋＝0∴⊥，故∠AMB＝Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC＝90°，连结FM，则FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb∴∠2＋∠3＝×180°＝90°∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝a，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝b，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180°∴2(a＋b)＝180°，即a＋b＝90°，故∠DFC＝90°【证法二】取CD的中点M，即M(－，)由前知kAM＝，kCF＝＝＝∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90°.【证法三】∵＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，N1NMxyOF图7M1l∴·＝p2＋y1y2＝0∴⊥，故∠DFC＝90°.【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即＝，且∠DRF＝∠FRC＝90°∴ △DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90°∴∠DFR＋∠RFC＝90° ∴∠DFC＝90°4. C’A、C’B是抛物线的切线CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D1【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝(x－)与抛物线方程y2＝2px联立消去x得y－y1＝(－)，整理得y2－2y1y＋＝0可见△＝(2y1)2－4＝0，故直线AM与抛物线y2＝2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，＝，得2y·＝2p，＝，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝| y＝y1＝.又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－，)代入左边＝y1·＝＝＝px1－，右边＝p(－＋x1)＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图9即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.5. C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a＝2b. 且M(－，)∵tana＝kAB＝＝＝.tanb＝kAM＝＝＝＝＝.∴tan 2b＝＝＝＝＝＝tana∴a＝2b，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.6. AC’、A’F、y轴三线共点，BC’、B’F、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线，∴G1是DF的中点.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD1设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，| DD1 |＝| OF |，DD1∥OF，故△DD1G2≌△FOG2∴| DG2 |＝| FG2 |，则G2也是DF的中点.∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为y－y1＝(x－)，令x＝0得AM与y轴交于点G1(0，)，又DF的直线方程为y＝－(x－)，令x＝0得DF与y轴交于点G2(0，)∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图117. A、O、B’三点共线，B、O、A’三点共线.【证法一】如图11，kOA＝＝＝，kOC＝＝－＝－＝－＝∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O¢，∵AD∥RF∥BC∴＝＝，＝，又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴＝∴| RO¢ |＝| O¢F |，则O¢与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O¢，RF∥BC，＝，∴| O¢F |＝＝＝＝【见⑵证】∴O¢与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】∵＝(－，y2)，＝(x1，y1)，∵－·y1－x1 y2＝－·y1－ y2＝－－＝－＋＝0∴∥，且都以O为端点∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图： 8. 若| AF |：| BF |＝m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q＝；【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD于E，设| AF |＝mt，| AF |＝nt，则CDBRAxyOqEF图14l| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m－n)t∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝∴cos q＝cos∠BAE＝.【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB的倾斜角的大小为 .【答案】60°或120°.9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切; A’B’为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15，设E是AF的中点，则E的坐标为(，)，则点E到y轴的距离为d＝＝| AF |故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |图16则圆心M到l的距离| MN |＝| AB |，故以AB为直径的圆与准线相切. 10. MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(－，y2)，D(－，y1)，M(－，)，N(，)，设MN的中点为Q¢，则Q¢ (，)∵ ＝＝＝∴点Q¢ 在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.专心---专注---专业。