2016年天津(理科)高考数学试卷和答案.pdf

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第 I 卷注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2.本卷共 8 小题，每小题5 分，共 40 分参考公式：如果事件A，B 互斥，那么 如果事件A，B 相互独立，P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B) 柱体的体积公式V 柱体 =Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中S 表示柱体的底面积其中S 表示锥体的底面积，h 表示柱体的高h 表示锥体的高第卷注意事项：本卷共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合1,2,3,4,|32,ABy yxxA，则 AB = （A）1（B）4（C）1,3（D）1,4（2） 设变量 x， y 满足约束条件20,2360,3290.xyxyxy则目标函数25zxy 的最小值为（ A）4（ B）6 （ C）10 （D）17 （3）在 ABC 中，若= 13AB,BC=3，120C,则 AC= （ A） 1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ A） 2 （B）4 （C）6 （D）8 （5）设 an是首项为正数的等比数列，公比为q，则 “ q0” 是“ 对任意的正整数 n， a2n- 1+a2n0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D 四点，四边形的ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ A）22443=1yx（B）22344=1yx（C）2224=1xyb（D）2224=11xy（7）已知 ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得 DE=2EF，则AF BC的值为（ A）58（B）18（C）14（D）118（8）已知函数f（x）=2(4),0,log (1)13,30)axaaxxxx（a0,且 a1 ）在 R 上单调递减，且关于x 的方程 f（x）=2x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ A） （0，23 （B）23，34 （C）13，2334（D）13，23）34 第 II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12 小题，共计110 分. 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. （9）已知,a bR，i 是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则ab的值为 _. （10）281()xx的展开式中x2的系数为 _.(用数字作答 ) （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为_m3. （第 11 题图）（12）如图，AB 是圆的直径， 弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 _. (13)已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增 .若实数 a 满足 f(2|a-1|)f（-2） ，则a 的取值范围是_. (14)设抛物线222xptypt， （t 为参数， p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为B.设 C（72p,0） ，AF 与 BC 相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为3 2，则 p 的值为 _. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x)cos(3x)-3. ()求 f(x)的定义域与最小正周期；（）讨论f(x)在区间 ,44上的单调性 . （16） （本小题满分13 分）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会. （I）设 A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4” ，求事件A 发生的概率；（II）设X为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. （17） （本小题满分13 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O， 四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD ， 点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2. （I）求证： EG平面 ADF；（II）求二面角O-EF-C 的正弦值；（III ）设 H 为线段 AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. （20） （本小题满分14 分）设函数 f(x)=（x-1）3-ax-b,xR，其中 a,bR。

I)求 f(x)的单调区间；(II) 若 f(x)存在极点x0，且 f(x1)=f(x0)，其中 x1 x0，求证： x1+2x0=3；(III) 设 a0,函数 g(x)=f(x),求证： g(x)在区间 0,2上的最大值不小于. 参考版解析1D 【解析】1234A， ， ，14710B， ， ，14AB，选 D2B 【解析】(3，0)zmin=6z=2x+5y=0可行域如上图所示，则当取点(3,0) 时，25zxy取得最小值为6 3A 【解析】设ACx由余弦定理得：29131cos120232xx2243340 xxxx1x或4（舍） ，1AC，选 A4B 【解析】第一次：8s，2n第二次：2s，3n第三次：4s，4n，满足3n，输出4s.5C 【解析】设数列的首项为1a ，则222122212111=(1)0nnnnnaaa qa qa ，即1q，故0q是1q的必要不充分条件6D 【解析】xyDCBA渐近线:2bOByx设002bBxx，则0012228bbxx，01x，12bB，222124b，212b221412xy7 【解析】 B FEDCBABCACABAFADDF1322ABDE1324ABAC1324BCAFACABABAC1113311 11 12224421313144288，选 B8C 【解析】由log (1)1ayx在 0,) 上递减，则01a又由( )f x 在 R 上单调递减，则：20(4- 3) 03(0)113343402aafaa由图像可知，在0,+) 上，( )2fxx有且仅有一个解，故在 (,0) 上，( )2f xx 同样有且仅有一个解，当 32a即23a时，联立2(43)32xaxax ，则2(42)4(32)0aa，解得：34a或 1（舍），当32a1时，由图像可知，符合条件. 综上： 123334a，选 C92ab【解析】11ibia ， 1bibia， 1ba12ba，2ab1056【解析】3552781C56xxx，系数为 -56 112【解析】121323V 321122 33【解析】连接OD，可得，BODBDE，23BDBO BE=3BDDEAECDEB，AECEDEBE，即1=23EC，2 3=3ECECDBA131322a【解析】由fx 是偶函数可知，0，单调递增；0，单调递减又122aff，22ff可得，122a即112a1322a146P【解析】 x、 y 满足函数22ypx ；,02pF3CFp ，3=2ABAFp可得：2A pp，易知AEBFEC ，12AEABFEFC，故11132332ACEACFSSpp22322p26p0p，6p15【解析】4tansincos323fxxxx134sincossin322xxxsin 23 1cos23xxsin 23cos2xx2sin23x()定义域2x xkkZ，,22T（ ）44x，52636x，设23tx，sinyt在562t，时单调递减，在26t，时单调递增-56-2由52632x解得412x，由2236x解得124x 函数fx 在124，上单调增，在412，上单调减16【解析】（ ）设事件A：选 2 人参加义工活动，次数之和为4 112343210C CC1C3P A（ ）随机变量X可能取值 0，1，2 222334210CCC40C15P X11113334210C CC C71C15P X1134210C C42C15P XX0 1 2 P4157154157811515E X17【解析】（ ）证明：找到AD中点I，连结FI，矩形 OBEF , EFOB G 、I是中点， GI 是ABD的中位线GIBD且12GIBD O 是正方形ABCD 中心12OBBDEFGI且EFGI=四边形 EFIG 是平行四边形EGFIFI面ADFEG面ADF（） OEFC 正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系OxyzIzyxABCDEFGHO020B，200C， ，022E，002F， ，设面 CEF 的法向量1nxyz， ，1102020202220nEFxyzynCFxyzxz， ， ， ，得：201xyz1201n， ， OC面 OEF ，面 OEF 的法向量2100n， ，12121226cos33 1nnnnnn，21263sin133nn，（）23AHHF222 2420205555AHAF， ， ，设 Hxyz， ，2 242055AHxyz， ， ，得：3 25045xyz324255BH，12164755cos212 235BHnBHnBH n，18【解析】 22112112nnnnnnnnCbbaaa ad a21212 ()2nnnnCCd aad 为定值nC为等差数列2213211( 1)nknknkTbCCC21(1)42n nnCd212(1)nCd n n（* ）由已知22212123122122 ()4Cbba aa ad ad add将214Cd 代入（ *）式得22(1)nTd n n2111112(1)nnkkkTdk k21111(1)2311221kkd212d，得证19【解析】FB(xB , yB)lkAMOH（）113eOFOAFA222331133aaaaaa解之得2a椭圆方程为：22143xy（）由已知，设l 斜率为 k (0)k，方程为(2)yk x设()BBB xy，00(2)M xk x，01()xMOAMAO，()HH Oy，2222221(34)161612043(2)xykxk xkyk x，0 成立由韦达定理221612234Bkxk，228634Bkxk，212(2)34BBkyk xk001:(2)()HMlyk xxxk令0 x，得012HykxkkHFFB，( 1) (1)0HBBFHFByxy，即20228612111203434BHBkkxy ykxkkkk202920112(1)kxk，283k 64k 或64k20. 【解析】（1）31fxxaxb231fxxa0a，单调递增；0a，fx在, 13a单调递增，在1, 133aa单调递减，在1,3a单调递增（2）由00fx得2031xa320000131f xxxxb200121xxb32000032223132fxxxxb200018896xxxb200=121xxb00132=fxfxfx1023xx（3）欲证( )g x 在区间 02，上的最大值不小于14，只需证在区间02，上存在12,x x，使得121()()2g xg x即可当3a时， fx 在 02，上单调递减(2)12fab( 0 )1fb1(0)(2)2242ffa递减，成立当 03a时，311333aaafab333aaaaab233aaab113333aaaafab233aaab(2)12fab( 0 )1fb(2)(0)22ffa若304a 时，102222ffa，成立当34a时，411133332aaaffa，成立。