2022年方程法求解数轴上动点问题.docx

学习资料欢迎下载借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离； 为了便于初一年级同学对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1. 数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的肯定值，也即用右 边的数减去左边的数的差；即数轴上两点间的距离 =右边点表示的数—左边点表示的数；2. 点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速 度看作正速度， 而向作运动的速度看作负速度； 这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标；即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 a—b；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b；3. 数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系；例 1．已知数轴上有 A、B、C三点，分别代表— 24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C 两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位/ 秒；⑴问多少秒后，甲到 A、B、C的距离和为 40 个单位？⑵如乙的速度为 6 个单位/ 秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到 A、B、C的距离和为 40 个单位时，甲调头返回；问甲、乙仍能在数轴上相遇吗？如能，求出相遇点；如不能，请说明理由；分析：如图 1，易求得 AB=14，BC=20， AC=34⑴设 x 秒后，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位；此时甲表示的数为— 24+4x；①甲在 AB之间时，甲到 A、B 的距离和为 AB=14甲到 C的距离为 10—（— 24+4x）=34—4x依题意， 14+（34— 4x）=40，解得 x=2②甲在 BC之间时，甲到 B、C的距离和为 BC=20，甲到 A 的距离为 4x依题意， 20+4x）=40，解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C的距离和为 40 个单位；摸索：为什么没有甲在 C点右侧的那种情形？⑵是一个相向而行的相遇问题；设运动 t 秒相遇；依题意有， 4t+6t=34 ，解得 t=3.4相遇点表示的数为— 24+43.4= —10.4 （或： 10—63.4= —10.4 ）⑶甲到 A、B、C的距离和为 40 个单位时，甲调头返回；而甲到 A、B、C的距离和为 40 个单位时，即的位置有两种情形，需分类争论；①甲从 A向右运动 2 秒时返回；设 y 秒后与乙相遇；此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同；甲表示的数为：— 24+4 2— 4y；乙表示的数为： 10—62—6y依题意有，— 24+42—4y=10—62—6y，解得 y=7相遇点表示的数为：— 24+4 2— 4y=—44 （或： 10—62—6y=— 44）②甲从 A向右运动 5 秒时返回；设 y 秒后与乙相遇；甲表示的数为：— 24+4 5— 4y；乙表示的数为： 10—65—6y依题意有，— 24+45—4y=10—65—6y，解得 y=—8（不合题意，舍去） 即甲从 A点向右运动 2 秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为— 44；点评：分析数轴上点的运动， 要结合数轴上的线段关系进行分析； 点运动后所表示的数， 以起点所表示的数为基准， 向右运动加上运动的距离， 即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数；例 2．如图，已知 A、B 分别为数轴上两点， A 点对应的数为— 20，B 点对应的数为 100；⑴求 AB中点 M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁 P从 B点动身，以 6 个单位/ 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从 A 点动身，以 4 个单位/ 秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C点相遇，求 C点对应的数；⑶如当电子蚂蚁 P从 B点动身时，以 6 个单位/ 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从 A 点动身，以 4 个单位/ 秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，求 D点对应的数；分析：⑴设 AB中点 M对应的数为 x，由 BM=MA所以 x—（— 20）=100—x，解得 x=40 即 AB中点 M对应的数为 40⑵易知数轴上两点 AB距离， AB=140，设 PQ相向而行 t 秒在 C点相遇， 依题意有， 4t+6t=120 ，解得 t=12（或由 P、Q运动到 C所表示的数相同，得— 20+4t=100—6t ，t=12 ） 相遇 C点表示的数为：— 20+4t=28（或 100— 6t=28 ）⑶设运动 y 秒， P、Q在 D点相遇，就此时 P 表示的数为 100—6y， Q表示的数为— 20—4y；P、Q为同向而行的追及问题；依题意有， 6y— 4y=120，解得 y=60（或由 P、Q运动到 C所表示的数相同，得— 20— 4y=100—6y， y=60）D点表示的数为：— 20— 4y=—260 （或 100— 6y=—260）点评：熟识数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决此题的关键；⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题；在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础；例 3．已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为— 1， 3，点 P为数轴上一动点，其对应的数为 x；⑴如点 P到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数；⑵数轴上是否存在点 P，使点 P到点 A、点 B的距离之和为 5？如存在， 恳求出 x 的值；如不存在，请说明理由？⑶当点 P以每分钟一个单位长度的速度从 O点向左运动时，点 A以每分钟 5 个单位长度向左运动， 点 B 以每分钟 20 个单位长度向左运动， 问它们同时动身， 几分钟后 P 点到点 A、点 B的距离相等？分析：⑴如图，如点 P 到点 A、点 B的距离相等， P 为 AB的中点， BP=PA；依题意， 3— x=x—（— 1），解得 x=1⑵由 AB=4，如存在点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5，P 不行能段 AB上，只能在 A 点左侧，或 B 点右侧；①P 在点 A 左侧， PA=—1—x，PB=3—x依题意，（— 1—x）+（3—x）=5，解得 x= —1.5②P 在点 B 右侧， PA=x—（— 1）=x+1，PB=x—3依题意，（ x+1）+（x—3）=5，解得 x=3.5⑶点 P、点 A、点 B同时向左运动，点 B的运动速度最快，点 P的运动速度最慢；故 P 点总位于 A点右侧， B 可能追上并超过 A；P 到 A、B 的距离相等，应分两种情形争论；设运动 t 分钟， 此时 P 对应的数为— t ，B 对应的数为 3—20t ，A 对应的数为— 1— 5t ；① B 未追上 A 时， PA=PB，就 P 为 AB中点； B在 P的右侧， A 在 P 的左侧； PA=—t —（— 1—5t ）=1+4t， PB=3— 20t —（— t ）=3—19t依题意有， 1+4t=3 —19t ，解得 t=②B 追上 A 时， A、B 重合，此时 PA=PB；A、B 表示同一个数；依题意有，— 1—5t=3 —20t ，解得 t=即运动 或 分钟时， P到 A、B 的距离相等；摸索：为什么没有 B走到 A左侧的情形？点评：⑶中先找出运动过程中 P、A、B 在数轴上对应的数，再依据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程；例 4．点 A1、A2 、A3、⋯⋯ An（n 为正整数）都在数轴上，点 A1 在原点 O的左边， 且 A1O=1，点 A2 在点 A1 的右边，且 A2A1=2，点 A3 在点 A2 的左边，且 A3A2=3，点 A4在点 A3 的右边，且 A4A3=4，⋯⋯，依照上述规律点 A2021、A2021 所表示的数分别（ ）A．2021，—2021 B．—2021，2021 C．1004，— 1005 D．1004，—1004分析：如图，点 A1 表示的数为— 1；点 A2 表示的数为— 1+2=1；点 A3 表示的数为— 1+2—3=—2；点 A4 表示的数为— 1+2—3+4=2 ⋯⋯点 A2021 表示的数为— 1+2— 3+4—⋯⋯— 2007+2021=1004点 A2021 表示的数为— 1+2— 3+4—⋯⋯— 2007+2021—2021=-1005点评：数轴上一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 a—b；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b；运用这一特点探究变化规律时，要留意在循 环来回运动过程中的方向变化；练习题：1. 已知数轴上 A、B 两点对应数分别为— 2，4，P 为数轴上一动点，对应数为 x；⑴如 P 为线段 AB的三等分点，求 P 点对应的数；⑵数轴上是否存在 P 点，使 P 点到 A、B 距离和为 10？如存在，求出 x 的值；如不存在，请说明理由；⑶如点 A、点 B和 P点（ P 点在原点）同时向左运动；它们的速度分别为 1、2、1 个单位长度 / 分钟，就第几分钟时 P为 AB的中点？（参考答案：⑴ 0 或 2；⑵— 4 或 6；⑶ 2）2. 电子跳蚤落在数轴上的某点 K0，第一步从 K0 向左跳一个单位到 K1，其次步由K1 向右跳 2 个单位到 K2，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K4⋯⋯按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的 K100 所表示的数恰是 19.94 ；试求电子跳蚤的初始位置 K0 点表示的数；（提示： 设 K0 点表示的数为 x，用含 x 的式子表示出 K100 所表示的数， 建立方程， 求得 x=—30.06 ）。