互不同构的18阶和20阶群.doc

抽象代数小论文互不同构的 18 阶和 20 阶群姓名：成超班级：F0907101学号：5090719019一．互不同构的 18 阶群1.互不同构的 18 阶 Abel 群设 A为 18阶的 Abel群，则 2183A由 Sylow定理可以确定 A的 Sylow子群阶数分别是： 和 2A239从而得到 A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）所以 18阶 Abel群有两个： 和 23Z29Z（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以 336Z（2,9）化为不变因子是（18），所以 2918从而确定互不同构的 18阶 Abel群有两个： 和 36Z2.互不同构的 18 阶非 Abel 群设 G为 18阶非 Abel群由 Sylow定理可知，G 必有 9阶的 Sylow-3子群，不妨记为 S2.1 S 是循环群：则 ，再取 G中 2阶元 b ，则有 9,1a21,,Gab设 ，,08ib则 ，故 22111iii ibaa 1mod9由 可解得 ，即 08ii181b所以， 929,,GabaD2.2 S 不是循环群：则必有 ，再取 G中 2阶元 c ，则有3,121,S。

Gabc设 则有：1 2111212, ,0,,ij ijcbabij11111 1221 ijijij ijiaccacabcabcab21112ijijjb 22222 11111ijijij ijibccccc21221iijjija所以可以得到如下的同余方程组：其中2111221mod30mod30ijijj 120,ij而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实：即若方程组有一解为 ，则还有对应的另一解12iijj121iijj但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的 a和b的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解从而我们可以得到如下 7组方程组的解：⑴ 即 12,0,1ij11,cabca⑵ 即 ⑶ 即 12,,2ij 1212,cc⑷ 即 10ab⑸ 即 12,,ij 112,cca⑹ 即 22⑺ 即 12,,0ij112,cabc下面再来探究这几组解的性质：首先，因为 G非 Abel群，所以(2)不合条件，舍去。

对于(3)：有 ； 212412,cabc即在(1)中用 代替 a，用 a代替 b，可见(3)和(1)同构对于(4)：有 ；1214,ccb 即在(1)中用 代替 a，用 代替 b，可见(4)和(1)同构b2对于(5)：有 ；2211,cac即在(1)中用 代替 a，b 保持不变，可见(5)和(1)同构对于(6)：有 ；2121,cc即在(1)中 a保持不变，用 代替 b，可见(6)和(1)同构对于(7)：可证明(7)与(1)不同构：反证法：若(7)与(1)同构，则存在(7)中的 ，可以代替（1）中 a的位置ab但 ，212c即在(1)中 ，这与 矛盾cSb所以(7)与(1)不同构故剩余的是： ；32111,1,,,Gababcca222c b所以，互不同构的 18阶非 Abel群有：；92189,,GabbaD；3 111 ,,,ccabca；2222,1c二．互不同构的 20 阶群1.互不同构的 20 阶 Abel 群设 B为 20阶的 Abel群，则 ，205B由 Sylow定理可以确定 B的 Sylow子群阶数分别是： 和 。

24B5从而得到 B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以 20阶 Abel群有两个： 和 25Z45Z（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以 ；25210ZZ（4,5）化为不变因子是（20），所以 ；450从而确定互不同构的 20阶 Abel群有两个： 和 2122.互不同构的 20 阶非 Abel 群设 G为 20阶非 Abel群由 Sylow定理可知，G 必有 5阶的 Sylow-5子群和 4阶的 Sylow-2子群Sylow-5子群的个数满足： ，只有唯一解 ，记这唯一的120Nk1NSylow-5子群 5,SaSylow-2子群个数满足： ，则 或 2k225当 时，G 是 Abel群，所以， 21N25N这时，G 有 5个相互共轭的 4阶 Sylow-2子群，不妨记其中一个为 K2.1 K 是循环群：则 4,1b设 ，则 ，1,0ia443133iiabbaba所以 ，即 ，i 可取 1,2,3,44i41mod5i⑴ ，则 G 是 Abel群，舍去1i⑵ ，则 ，此时 212ba 54121,,abba⑶ ，则 ，此时 ，与⑵同构。

3i1331327⑷ ，则 ，此时 44ba54142,,Gabba2.2 K 不是循环群：则 2,1,cc设 ，1,,02ijbaaij则有 ，2 22121,i jababacac所以 ，即 i 可取 1,4；j 可取 1,4221ij 2mod5ij⑴ ，则 G是 Abel群，舍去ij⑵ ，则 ，14114,baca此时 521143 25, ,,cbacZD⑶ ，则显然与⑵同构 ,ij⑷ ，则 ，41414,bac此时 ，41614,cbaaca所以与⑵同构所以，互不同构的 20阶非 Abel群有54121,,Gabba42521143 25,1,,,ccbacaZD三．结论18阶 Abel群： ， ；36Z1818阶非 Abel群： ；92189,,GabbaD；3 111 ,,ccabca2222,1,c20阶 Abel群： ， ；10Z220阶非 Abel群： ；5412,,Gabba；42521143 25,1,,,ccbacZD。