高中数学人教B版必修课件4.3指数函数与对数函数的关系.pptx

4.3指数函数与对数函数的关系第四章2021内容索引0102课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课标阐释1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,清楚它们的图像间的对称关系.(数学抽象)2.会求简单函数的反函数.(数学运算)3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决问题.(逻辑推理)思维脉络课前篇 自主预习【激趣诱思】纳皮尔(15501617)是苏格兰数学家.他生于苏格兰的爱丁堡,十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习,十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学,丰富了自己的学识.纳皮尔酷爱数学,他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力.正如他所说:“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算,因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏.”纳皮尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“纳皮尔比拟式”“纳皮尔圆部法则”以及作乘除用的“纳皮尔算筹”,而为制作对数表他花了整整20年时间.对数产生于17世纪初,为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据,为了解决很多位数的数字繁杂的计算产生了对数.恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就.前面我们学习过的指数函数与对数函数之间有什么关系呢?【知识点拨】 知识点一:反函数的概念1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.2.反函数的记法一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).名师点析 1.反函数概念的理解当一个函数是一一对应时,可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y=f(x)的反函数,常用y=f-1(x)表示.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.(2)若函数y=f(x)图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像上;反之,若点(b,a)在反函数的图像上,则点(a,b)必在原函数的图像上.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.微思考(1)函数y=ax(a0且a1)与函数y=logax(a0且a1)的解析式有何内在联系?提示 根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一过程可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.(2)函数y=ax(a0且a1)与函数y=logax(a0且a1)的单调性一致吗?提示 当0a1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性一致.微判断(1)任意一个函数都有反函数.()(3)若函数y=x2(xa)存在反函数,则a的取值范围是0,+).() 知识点二:指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数,它们的图像和性质对比如下表:名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a0且a1)y=logax(a0且a1)图像名称指数函数对数函数定义域 R(0,+)值域(0,+)R奇偶性 非奇非偶函数非奇非偶函数单调 性 当a1时,y=ax在R上为增函数;当0a1时,y=logax在区间(0,+)上为增函数;当0a1时,若x0,则y1;若x=0,则y=1;若x0,则0y1.当0a0,则0y1;若x=0,则y=1;若x1当a1时,若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0 x1,则y0.当0a1,则y0;若x=1,则y=0;若0 x0微练习1(1)函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图像上,则其反函数的图像一定过点.(2)函数y=ln(2x)的反函数是.答案 (1)(1,2)(2)y=ex微练习2若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+),则此函数的定义域为.答案 (9,+)解析 函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+),即这个函数的值域为(3,+),所以log3x+13,即log3x2,所以x9.所以此函数的定义域为(9,+).课堂篇 探究学习探究一求反函数例1求下列函数的反函数:分析按照求反函数的基本步骤求解即可.反思感悟 求函数的反函数的主要步骤(1)令y=f(x),对调其中的x和y,得x=f(y);(2)从x=f(y)中解出y=(x);(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域).简记为“一换、二解、三写”.变式训练1求函数y=2x+1(x0)的反函数.解 由y=2x+1,对调x,y,得x=2y+1,y=log2(x-1).又x0,02x1,12x+12.所求函数的反函数为f-1(x)=log2(x-1)(1x0且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图像可能是()(2)将y=2x的图像(),再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.A.先向上平移1个单位长度 B.先向右平移1个单位长度C.先向左平移1个单位长度 D.先向下平移1个单位长度答案 (1)B(2)D解析 (1)(方法一)首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)只可能在y轴左边,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.(方法二)若0a1,则函数y=ax单调递增且图像过点(0,1),而函数y=loga(-x)单调递减且图像过点(-1,0),只有B满足条件.(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图像关于y轴的对称图像为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图像关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)由图像的平移变换易知需先向下平移1个单位长度.反思感悟 互为反函数的图像特点:(1)互为反函数的图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.答案 C 当堂检测检测1.函数y=lnx+1的反函数为()A.y=ex+1(xR)B.y=ex-1(xR)C.y=ex+1(x1)D.y=ex-1(x1)答案 B解析 y=lnx+1对调x,y,得x=lny+1,解得y=ex-1,则其反函数为y=ex-1.由于x0,则y=lnx+1R,因而y=ex-1(xR),故选B.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),如果函数y=f(x)的图像过点(1,0),那么函数y=f-1(x)+1的图像过点()A.(0,0) B.(0,2)C.(1,1) D.(2,0)答案 B解析 y=f(x)的图像过点(1,0),其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),即f-1(0)=1,即y=f-1(0)+1=1+1=2,y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).答案 -2。