2.4 正态分布1．了解正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)3．了解正态曲线的意义和性质．4．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)[基础·初探]教材整理1 正态曲线及正态分布阅读教材P70～P72，完成下列问题．1．正态曲线若φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．图241随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a0，P(μ－a0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【解析】 ∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.【答案】 0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]正态分布的概念及正态曲线的性质 图242如图242所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【精彩点拨】 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．【自主解答】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.[再练一题]1.图243(1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图243所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2【解析】 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.【答案】 A(2)图244如图244是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3【解析】 由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.【答案】 A服从正态分布变量的概率问题 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【自主解答】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.【答案】 C(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341 3.利用正态分布求概率的两个方法1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：(1)P(Xμ＋a)．2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．[再练一题]2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(X
