初二数学上学期知识点和典型例题总结.doc

全等三角形类型一：全等三角形性质的应用　　1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.　　解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC 和∠ADB是对应角.　　总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.　　已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.　　举一反三：　　【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD　　【变式2】如右图，，　　　　　　 求证：AE∥CF　　【答案】　　　　　　∴AE∥CF　　2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

　　思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可　　解析：在ΔABC中，　 　　　 ∠ACB=180°-∠A-∠B，　　　　　又∠A=30°，∠B=50°，　　　　　所以∠ACB=100°.　　　　　又因为ΔABC≌ΔDEF，　　　　　所以∠ACB=∠DFE，　　　　　BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）　　　　　所以∠DFE=100°　　　　　EC=EF-FC=BC-FC=FB=2　　总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等　　举一反三：　　【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.　　　　　　 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.　　【答案】　　(1）因为ΔACD≌ΔECD，　　　　所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.　　　　因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.　　　　所以CD⊥AB.　　(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,　　　　所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.　　　　因为∠CFE+∠BFE=180°，　　　　所以∠CFE=∠BFE=90°.　　　　因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.　　　　所以EF∥AC.类型二：全等三角形的证明　　3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE． 　　思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得　　解析：∵AC＝BD(已知)　　　　　∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)　　　　　即 AD＝BC　　　　　在△ADF与△BCE中　　　　　　　　　　∴△ADF≌△BCE(SAS)　　总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：　　(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，　　(2)证明这两个三角形全等；　　(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．　　举一反三：　　【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC　　【答案】∵AB∥CD　　　　　　∴∠3＝∠4　　　　　　在△ABD和△CDB中　　　　　　　　　　　　∴△ABD≌△CDB(SAS)　　　　　　∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)　　　　　　∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)　　【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．　　　　　　 求证 AF＝DE．　　【答案】∵EB⊥AD(已知)　　　 　　 ∴∠EBD＝90°(垂直定义)　　　　　　同理可证∠FCA＝90°　　　　　　∴∠EBD＝∠FCA　　　　　　∵AB＝CD，BC＝BC　　　　　　∴AC＝AB+BC　　　　　　　　＝BC+CD　　　　　　　　＝BD　　　　　　在△ACF和△DBE中　　　　　　　　　　　　∴△ACF≌△DBE(S．A．S)　　　　　　∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用　　4、如图，AD为ΔABC的中线。

求证：AB+AC>2AD. 　　思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线　　解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE　　　　　因为AD为ΔABC的中线，　　　　　所以BD=CD.　　　　　在ΔACD和ΔEBD中，　　　　　　　　　　所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).　　　　　所以BE=CA.　　　　　在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.　　总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中　　举一反三：　　【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，　　　　　　 求证：BD=2CE.　　【答案】分别延长CE、BA交于F. 　　　　　　因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.　　　　　　在ΔBEF和ΔBEC中，　　　　　　　　　　　　所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).　　　　　　所以CE=FE=CF.　　　　　　又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.　　　　　　所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.　　　　　　所以∠BDA=∠BFC.　　　　　　在ΔABD和ΔACF中，　　　　　　　　　　　　所以ΔABD≌ΔACF(AAS)　　　　　　所以BD=CF.所以BD=2CE.　　5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D， 　　　　　　求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF　　思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．　　解析：　　(1)在△ABE与△CDF中　　　　　　　　∴△ABE≌△CDF(SAS)　　　　∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)　　(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)　　　　∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)　　(3)在△AEF与△CFE中　　　　　　　∴△AEF≌△CFE(SAS)　　　∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)　　总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．　　举一反三：　　【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】在△AGE与△BCE中　　　　　　　　　　　　∴△AGE≌△BCE(SAS)　　　　　　∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)　　　　　　在△AFD与△CBD中　　　　　　　　　　　　∴△AFD≌△CBD(SAS)　　　　　　∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)　　　　　　∴AF＝AG(等量代换)　　6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 　　　　　　求证：AF平分∠BAC．　　思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．　　解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中　　　　　　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)　　　　　∴AD=AE(全等三角形对应边相等)　　　　　在Rt△ADF与Rt△AEF中　　　　　　　　　　∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)　　　　　∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)　　　　　∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)　总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

　举一反三：　　【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．　　【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．　　　　　　　　　已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′　　求证：△ABC≌△A′B′C′　　证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中　　　　　　　　　　∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL)　　　　　∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)　　　　　在△ABC与△A′B′C′中　　　　　　　　　　∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)　　【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD　　【答案】∵∠C=∠D=90°　　　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形　　　　　　在Rt△ABD和Rt△ABC中　　　　　　　　　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)　　　　　　∴AD=BC　　　　　　在△AOD和△BOC中　　　　　　　　　　　　　∴△AOD≌△BOC(AAS)　　　　　　∴OD=OC．　　7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.. 　　试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径　　解析：结论：DE+DF=CG　　方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）　　 　　　　作DM⊥CG于M　　 　　　　∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG　　 　　　　∴四边形EDMG是矩形　　 　　　　DE=GM　 　　　　　DM//AB　　 　　　　∴∠MDC=∠B　　 　　　　∵AB=AC　 　　　　∴∠B=∠FCD　 　　　　　∴∠MDC=∠FCD　　 　　　　而DM⊥CG，DF⊥AC　　 　　　　∴∠DMC=∠CFD　　 　　　　在⊿MDC和⊿FCD中　 　　　　　　 　　　　　∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）　 　　　　　MC=DF　 　　　　　∴DE+DF=GM+MC=CG　　总结升华：　　方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法　　方法三（面积法）使用等积转化　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系。