齐次线性方程组解的结构.ppt

齐次线性方程组解的构造齐次线性方程组解的构造一一.　齐次线性方程组解的构造　齐次线性方程组解的构造湘潭大学数学学院湘潭大学数学学院 岳慧岳慧21.　解向量　解向量齐次线性方程组　齐次线性方程组　假设假设为方程为方程 的解，则的解，则称为方程组的解向量称为方程组的解向量.湘潭大学数学学院湘潭大学数学学院 岳慧岳慧3（（1）若　　　　）若　　　　 为为 　　的解，则　　的解，则也是也是 　　的解　　的解.　　　　　　 也是也是 的解．的解．（（2）若）若 　　 为为 　　 的解，的解，k为实数，则为实数，则推广：推广：都是方程组的解都是方程组的解齐次线性方程组的解的线性组合齐次线性方程组的解的线性组合湘潭大学数学学院湘潭大学数学学院 岳慧岳慧42.　根底解系　　根底解系　当当时，有无穷解时，有无穷解, 其解向量为其解向量为 n 维向量维向量.故这无穷个解必存在一个极大线性无关组故这无穷个解必存在一个极大线性无关组定义定义1.　齐次线性方程组解的集合的一个极大线性　齐次线性方程组解的集合的一个极大线性无关组，称为该方程组的一个根底解系无关组，称为该方程组的一个根底解系.即方程组的通解就是即方程组的通解就是湘潭大学数学学院湘潭大学数学学院 岳慧岳慧5定理定理4.6.2.　当　当 r (A) < n 时，齐次线性时，齐次线性方程组的根底解系含有方程组的根底解系含有 n-r 个解向量个解向量.　　　　例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组(1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形解解(2) 由标准阶梯形得到方程组为由标准阶梯形得到方程组为(3) 由此得到方程组的解：由此得到方程组的解：(4) 写成向量形式为写成向量形式为:其中其中任意取值。

任意取值故原方程组的通解为故原方程组的通解为例例 求解线性齐次方程组求解线性齐次方程组解解初等行变换初等行变换故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，其根底解系中有三个线性无关的解向量其根底解系中有三个线性无关的解向量由于由于得到方程组的一个根底解系为得到方程组的一个根底解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为其中其中 为任意常数为任意常数例例 1 · 求下面齐次线性方程组的一个根求下面齐次线性方程组的一个根底解系底解系 故原方程组的通解为例例 2 · 求下面齐次线性方程组的一个求下面齐次线性方程组的一个 根底解系根底解系 14齐次齐次线性方程组求全部解的图示：线性方程组求全部解的图示：系数矩阵系数矩阵 初等行变换初等行变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵 非零行数非零行数 = 未知量个数未知量个数 ？？是是方程组有唯一零解方程组有唯一零解 否否定自由定自由未知量未知量初等行初等行 变换变换 简化简化阶梯形矩阵阶梯形矩阵 方程组有无穷多解方程组有无穷多解 可写出一般解可写出一般解根底解系根底解系 自由未知自由未知量适当取值量适当取值写出全部解写出全部解 线性组合线性组合习题4.6 3(2)知识回忆知识回忆Knowledge Knowledge ReviewReview祝您成功！。