2019-2020学年苏科版九年级上数学第2章《对称图形—圆》章末重难点题型汇编(含解析).pdf

对称图形 圆章末重难点题型汇编【考点 1 圆的相关概念】【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用. 【例 1】如图， O 的直径 BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E，且 CEOB，已知 DOB 72 ，则 E 等于（）A36B30C 18D 24【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于E 的方程，根据解方程，可得答案【答案】解：如图：CEOBCO，得E 1由 2 是EOC 的外角，得2 E+12E由 OCOD，得 D 22E由 3 是三角形 ODE 的外角，得3E+D E+2E 3E由 372 ，得 3E72 解得 E24 故选： D【点睛】 本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质【变式 1-1】如图，在 ABC 中， ACB90 ， A40 ，以 C 为圆心， CB 为半径的圆交 AB 于点 D，连接 CD，则 ACD（）A10B15C 20D 25【分析】先求得B，再由等腰三角形的性质求出BCD，则 ACD 与 BCD 互余【答案】解：ACB90 ， A40 ， B50 ，CDCB， BCD180 2 50 80 ， ACD90 80 10 ；故选： A【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单【变式 1-2】如图，半圆O 是一个量角器， AOB 为一纸片， AB 交半圆于点D，OB 交半圆于点C，若点 C、D、A 在量角器上对应读数分别为45 ，70 ，160 ，则 B 的度数为（）A20B30C 45D 60【分析】连结OD，如图，根据题意得DOC25 ， AOD90 ，由于ODOA，则 ADO 45 ，然后利用三角形外角性质得ADO B+DOB ，所以 B45 25 20 【答案】解：连结OD，如图，则 DOC70 45 25 ， AOD 160 70 90 ，ODOA， ADO45 ， ADO B+ DOB， B45 25 20 故选： A【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）【变式 1-3】如图， A，B，C 是 O 上的三点， AB，AC 的圆心 O 的两侧，若 ABO 20 ， ACO30 ，则 BOC 的度数为（）A100B110C 125D 130【分析】过A、O 作 O 的直径 AD，分别在等腰 OAB、等腰 OAC 中，根据三角形外角的性质求出BOC2ABO+2ACO【答案】解：过A 作 O 的直径，交 O 于 D在 OAB 中， OA OB，则 BOD ABO+OAB2 20 40 ，同理可得：COD ACO+OAC2 30 60 ，故 BOC BOD+COD100 故选： A【点睛】 本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出 COD 及 BOD 的度数【考点 2 垂径定理求线段】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧【例 2】如图， O 的直径CD10cm，AB 是 O 的弦， AB CD，垂足为M，OM：OC4：5，则 AB的长为（）A6 B7 C 8 D 9 【分析】由于O 的直径 CD10cm，则 O 的半径为5cm，又已知 OM：OC4：5，则可以求出OM4，OC5，连接 OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB【答案】解：如图所示，连接OAO 的直径 CD10cm，则 O 的半径为 5cm，即 OAOC5，又 OM：OC4：5，所以 OM4，ABCD，垂足为M，AMBM，在 Rt AOM 中， AM3，AB2AM2 36故选： A【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个【变式 2-1】如图， O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点 E，连结 EB若 AB4，CD1，则 EB 的长为（）A3 B4 C 5 D 2.5 【分析】设O 的半径为r在 Rt AOC 中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题【答案】解：设O 的半径为rODAB，ACBC 2，在 Rt AOC 中， ACO90 ，OA2OC2+AC2，r2（ r1）2+22，r，OC，OAOE，ACCB，BE2OC3，故选： A【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型【变式 2-2】如图， AC 是 O 的直径，弦BDAC 于点 E，连接 BC 过点 O 作 OFBC 于点 F，若 BD12cm，AE4cm，则 OF 的长度是（）ABCD 3cm【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可【答案】解：连接OB，AC 是 O 的直径，弦BDAC，BEBD 6，在 Rt OEB 中， OB2OE2+BE2，即 OB2（ OB4）2+62，解得， OB，则 ECACAE9，BC3，OFBC，CFBC，OF（cm） ，故选： A【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧【变式 2-3】如图，在半径为的 O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，DEB75 ，AB 6，AE 1，则 CD的长是（）A2B2C 2D 4【分析】过点O 作 OF CD 于点 F，OGAB 于 G，连接 OB、OD、OE，由垂径定理得出DF CF，AGBGAB3，得出 EGAGAE2，由勾股定理得出OG2，证出 EOG 是等腰直角三角形，得出OEG45 ，OEOG2，求出 OEF30 ，由直角三角形的性质得出OF OE，由勾股定理得出DF，即可得出答案【答案】解：过点O 作 OFCD 于点 F，OGAB 于 G，连接 OB、OD、OE，如图所示：则 DFCF，AG BGAB3，EGAGAE2，在 Rt BOG 中， OG2，EGOG， EOG 是等腰直角三角形， OEG45 ，OEOG2， DEB75 ， OEF30 ，OFOE，在 Rt ODF 中， DF ，CD2DF2；故选： C【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键【考点 3 圆周角定理】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径例 3】 （ 2019?营口）如图， BC 是 O 的直径， A，D 是 O 上的两点，连接AB，AD，BD，若 ADB70 ，则 ABC 的度数是（）A20B70C 30D 90【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到BAC90 ， ACB ADB70 ，然后利用互余计算ABC 的度数【答案】解：连接AC，如图，BC 是 O 的直径， BAC90 ， ACB ADB70 ， ABC90 70 20 故答案为20 故选： A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径【变式 3-1】如图， AB 是半圆的直径，O 为圆心， C 是半圆上的点，D 是上的点若 BOC50 ，则 D 的度数（）A105B115C 125D 85【分析】 连接 BD， 如图，利用圆周角定理得到ADB 90 ，BDCBOC25 ，然后计算 ADB +CDB 即可【答案】解：连接BD，如图，AB 是半圆的直径， ADB90 ， BDCBOC 50 25 ， ADC90 +25 115 故选： B【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径【变式 3-2】如图， AD 是半圆的直径，点C 是弧 BD 的中点， ADC55 ，则 BAD 等于（）A50B55C 65D 70【分析】连接OB、OC求出 BOD 即可解决问题【答案】解：连接OB，OC， ADC55 ， AOC2ADC110 ，弧 AC110 ，AD 是半圆的直径，弧 CD70 ，D 是弧 BD 的中点，弧 BD140 ， BOD140 ， BADBOD70 ，故选： D【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键【变式 3-3】如图， AB 是 O 的直径，点C 在 O 上， CD 平分 ACB 交 O 于点 D，若 ABC30 ，则 CAD 的度数为（）Al00B105C 110D 120 【分析】利用圆周角定理得到ACB 90 ，则利用互余计算出BAC60 ，接着根据角平分线定义得到 BCD45 ，从而利用圆周角定理得到BAD BCD45 ，然后计算BAC+BAD 即可【答案】解：AB 是 O 的直径， ACB90 ， BAC90 ABC90 30 60 ，CD 平分 ACB， BCD45 ， BAD BCD45 ， CAD BAC+BAD60 +45 105 故选： B【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径【考点 4 圆的内接四边形】【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角. 【例 4】如图，点A、B、C、D 在 O 上， CAD30 ， ACD50 ，则 ADB（）A30B50C 70D 80【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACB ADB 180 CAB ABC，进而得出答案【答案】解：， CAD30 ， CAD CAB30 ， DBC DAC30 ， ACD50 ， ABD50 ， ACB ADB180 CAB ABC180 50 30 30 70 故选： C【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出ABD 度数是解题关键【变式 4-1】如图，四边形 ABCD 内接于 O，它的一个外角EBC55 ，分别连接AC、BD，若 ACAD，则 DBC 的度数为（）A50B60C 65D 70【分析】根据圆内接四边形的性质求出ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可【答案】解：四边形ABCD 内接于 O， ADC EBC55 ，ACAD， ACD ADC55 ， DAC70 ，由圆周角定理得，DBC DAC70 ，故选： D【点睛】 本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理， 掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键【变式 4-2】如图，四边形ABCD 内接于 O，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交AD 的延长线于点 E，连接 AC，若 ABC 105 ， BAC25 ，则 E 的度数为（）A45B50C 55D 60【分析】先根据圆内接四边形的性质求出ADC 的度数，再由圆周角定理得出DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论【答案】解：四边形ABCD 内接于 O， ABC105 ， ADC180 ABC180 105 75 ， BAC25 ， DCE BAC25 ， E ADC DCE75 25 50 故选： B【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键【变式 4-3】如图，四边形ABCD 是 O 的内接四边形，若O 的半径为。