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等角螺线及其它何谓等角螺线等角螺线的方程式趣史一则等角螺线上的相似性质黄金分割与等角螺线等角螺线的弧长等角螺线的再生性质 其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支， 在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数 学的同义词，它以往的风光可想而知曾几何时，因为某些内在与外在的因素， 几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地 被删除这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理， 不了 解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一， 对当前高中 数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡在无力对教科书作大幅度 修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材在内容方面， 笔者首先选上曲线因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一， 而且许 多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用 例如：大 文望远镜的设计，不就是根据抛物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶 点A、B、C、D上。

狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、内狗紧盯着 丁狗、丁狗紧盯着甲狗一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标假定每 只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标， 那么，这四只狗所跑过的路径是什么形 式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为狗的行动一致所产生的对称性，可知Ai、Bi、Ci、Di （见图一），则根据四只DAiBiCiDi也是正方形，而且它的中心也就是正方形□ABC的中心O更进一步地，由于在 Ai点的甲狗系冲向在Bi点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量a1口1上或者说，甲狗所跑的路径在 Ai点的切线与直线 OAi形成45°的夹角同理，乙狗所跑的路径在 Bi点的切线与直线 OBi形成45的夹角等等一般而言，若一曲线在每个点 P的切向量都与某定点 O至此点P所成的向量 炉火成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 （equiangular spiral） , O点称为它的极点（pole）前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此T 3t等角螺线中的定角是 Z （或4 ,因为切向量可选成相反方向），而其极点是 正方形口4BC的中心0等角螺线的方程式在坐标平面上，若极坐标方程式等角螺线（那）＞。

其极点是原点0,定角为a（叱0f 则因在点 （加则 的切向量为(/(fl)cosfl - J(fl) sinfl, /[9) ma fl + J [0) cos&)所以，可得COS Ofcos： 0/0) cos @ f (0)血 0) + 血 0(/(0) anfl +/(B) cob 0)=画))2 +州2即尸⑻，（广阴产+ （，阳产由此可得下述结果：m =h，⑻= 朋=cota0cota +常数五% （上式南端稹分）换言之，此等角螺线的极坐标方程式为Seat ?在前面所提的四狗追逐问题中,若中心O是极点而点 A的极坐标为则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上:T = 手)T = Qe('+于), ,T = d式叶竽）T = QE（叶竽） ,前面所提的『 二 口/叱「就是等角螺线的极坐标方程式由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线（logahthmicspiral）趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿(R. Descartes, 1596 〜1650)在1638年就已经考虑 过，但没有获得特殊结果托里拆利(E. Torricelli, 1608〜1647年)却在1645 年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨，以伯努利(J. Bernoulli, 1654〜1705年)的成果最为丰硕他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve);求等角螺线的渐屈线 (evolute)；求等角螺线反演曲线(inversive curve) ；求等角螺线的焦线 (caustic curve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation),由于这 些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要 将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eademmutata resurgo」(虽然某些状况改变了，我却保持不变)这是继阿基米德(纪元前三世纪)之 后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式 r-aeecotQ,可以看出：对每个9值，都有一个对应的r值；而且不同的 9值所对应的r值也不同(因为0这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着9值的无限制增大与无限制减小，此 曲线会环绕它的极点形成无数多圈， 一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近若cota>0,则当时,曲线聚集在极点附近。

若cota<0,则当时,曲线愈绕越远图二是等角螺线的一部分(cot a < 0)图二图三若辐角01, 02, M,…构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径皿瓦啾E , 口/3 8tt1 ,一就构成等比数列若令 Pn表示极坐标坤""叫％）的点，则上述结果表示 二；,°R,…构成一个等比数 列又因（ROP2二/ROP?二…,所以可知AROB与AAOR相似由 此可知:产18 5 BR , F3P4构成一个等比数列若上述等差数列8i』2,h 的公差是2丁，Pi, P2, P3,…等乃是过极点的一 射线与等角螺线的交点可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点 必以等比数列的形式排列在射线上对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放 大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等 角螺线为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线『=醺九0tti伸缩m倍， 则所得的图形是等角螺线 t = 口mt?九0t）因为7n邦，所以可找到一个实数 0使得 m = /8s于是伸缩后的图形为 『=口/叶力皿门，这个图形其实就 是等角螺线T = a泌血曰绕极点顺时针旋转 。

角所得，它自然与原等角螺线 『=既船& 0t全等根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后， 必与该 等角螺线上的另一弧全等事实上，若等角螺线 /=口加c0tti经伸缩成/ =醺（杵域）⑹Q ,则在等角螺线r = aeScotQ,辐角9满足 ）3<9<7的弧， 经伸缩后必与该等角螺线上辐角8满足£+””什0的弧全等等角螺 线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状例如：许多贝壳 都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长 大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似 象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺 旋纹也都呈等角螺线形图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩 服造物之奇图四黄金分割与等角螺线环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状假如我们 将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？在图五中，口48下、OCDFH > UEFHJ> 口GHJK、EJKL、 等是 一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：边的比值相等），而且后一矩 形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。

in： UCDFH是由□题£?「挖 掉正方形 口4刃豆而得的此时，上列矩形的第一个顶点 A、C、E、G、I、K… 等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 应、昉、诟、下五等共交的点O若以O为极点，射线 ◎为极轴，且A的极坐标为 ,则此等 角螺线的极坐标方程式为『吟d«=蕈其中置 2 o此等角螺线通常称为黄金螺线为什么会扯上 2呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比因为由OARDF与口刀尸口可得BD :BC = BC .CD1 + （CT: BC） = BC CD（BC ； CD）2 - （BC ； CD）-1 = Q1 + 0 BC .CD =] （因焉 EC : CP > 1）*若线段 BD上的一点c满足 昉；的=诙；丽\则称c点将 BD 黄金分割当c点将昉黄金分割时,肘BD : BC （或BC CD）的值是 2 ,此数称为黄金分割比若一矩形的长边与短边的比值为2 ,则此矩形称为黄金矩形由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗?在图六中MBC、A8CD、MDE、幽、AEFG、AFGR、是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形， 都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。

例如：ABCD是 由二挖掉等腰三角形 ADAB而得的图六此时，上列等腰三角形的顶点 A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等 角螺线上，此等角螺线的极点是 无百与友?的交点O若以O为极点、射线方为极轴、且A的极坐标为（陶,）,则此等角螺线的极坐标方程式为其忤邛此等角螺线也称为黄金螺线此种三角形称此等角螺线也扯上2 ,其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC等，可证明其顶角为36而底角为72所以, 为黄金三角形等角螺线的弧长假定我们想计算等角螺线 『二上，辐角9满足,4941那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间等分成n等分，设每一等分的长为h,即n 又令Pi表示极坐标（的点,i=0,1,2,…，n,先考虑所得折线的长 册1+ RP1+ …+ Pn-1R 若这个和在RTOO （或 10）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长上述的折线长怎么计算呢？因为 △ROR+i 与 AROR相似，所以』」「〒=」Q由此可得PqPi + P1P2 dF 3-iR=. [1 + cot Q + e2A a + * ■ , + e^-1^cot Q）虱,一即0&_1k=iT（蒯<〃<]）另一方面，利用余弦定律可求得轨2 = /夕口 ― 1)2 + 4?MQsin2 g一再根据微积分中的 L'Hospital法则，可得T2曲1。

14hm -7—=— == taji aA->d e"cat Q — 1cot a由此可得lim= a—血 s J] + 七血2 口1口 独 M 0 — 1=ti』c0tti 日 eca；山n(BPi + 马 Fz+JD=9toe目日匚金(£丁一明唱班修一］)那段弧的长为:=US改注【”血一』血")由此可知：在等角螺线r = aeecata ±,辐角9满足口 sec"” 组此值等于该弧的两端点向径之差与sec翼的乘积在的情形中，因为当°T -00时，可得小itO，所以。