用二分法求方程的近似解.ppt
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3.1.2.3.1.2.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解2024/9/191 学习导学习导 图图归纳求函数零点的一般步骤归纳求函数零点的一般步骤巩固练巩固练 习习作作 业业 解方程：解方程：探究函数探究函数 零点的近似解零点的近似解 求方程求方程 的近似解的近似解2024/9/192 学习过程学习过程问题问题 一、解方程：一、解方程：如何找出在区间如何找出在区间 内的这个零点内的这个零点? ?1.1.对于简单方程，可以通过变形、换元或套用公式求对于简单方程，可以通过变形、换元或套用公式求解．解．2.2.实际问题中，一般只需要求出符合一定精确度的近实际问题中，一般只需要求出符合一定精确度的近似解．似解．3.3.将求方程近似解的问题转化为求相应函数零点的近似将求方程近似解的问题转化为求相应函数零点的近似值问题．值问题．2024/9/193 问题问题方程近似解方程近似解( (或函数零点的近似值或函数零点的近似值) )的精确的精确度与函数零点所在范围的大小有何关系度与函数零点所在范围的大小有何关系? ?1.1.若知道零点在若知道零点在(2(2．．5050，，2 2．．53)53)内，我们就可以得到内，我们就可以得到方程的一个精确到方程的一个精确到0 0．．1 1的近似解；的近似解；2.2.若知道零点在若知道零点在(2(2．．515515，，2 2．．516)516)内，我们就可以得内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解，等等．．．到方程的一个更为精确近似解，等等．．． 求方程近似解的问求方程近似解的问题题( (或函数零点的近或函数零点的近似值似值) )不断缩小零点所在不断缩小零点所在范围范围( (或区间或区间) )的问的问题题2024/9/194 问题问题如何缩小零点所在的范围，得到一个越来如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小的区间，以使零点仍在此区间内越小的区间，以使零点仍在此区间内? ?从上海到美国旧金山的海底电缆有从上海到美国旧金山的海底电缆有1515个接点，现在某接个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为一般至少需要检查接点的个数为 个．个．上海上海旧金山旧金山A B C D E F G H I J K L M N O为了缩小零点所在的范围，一般可以先将区间分为为了缩小零点所在的范围，一般可以先将区间分为两个子区间，如果分点不是零点，则零点必在两个两个子区间，如果分点不是零点，则零点必在两个中的一个内，从而达到缩小零点所在区间的目的．中的一个内，从而达到缩小零点所在区间的目的．2024/9/195 问题问题将一个区间分为两个区间，该找怎样的分点将一个区间分为两个区间，该找怎样的分点? ?取中点取中点 对于一个已知的零点所在区间对于一个已知的零点所在区间(a(a，，b)b)，取中，取中 点点 ，计算，计算 ，根据零点所在范围的，根据零点所在范围的判断方法，如果这个函数值为判断方法，如果这个函数值为0 0，那么中点就是函，那么中点就是函数的零点；如果不为数的零点；如果不为0 0，通过比较中点与两个端点，通过比较中点与两个端点函数值的正负，即可判知零点是在函数值的正负，即可判知零点是在 内，还内，还是在是在 内，从而将零点所在范围缩小了一半内，从而将零点所在范围缩小了一半．． 2024/9/196 问题问题(a，，b)中点中点x1f(a)f(x1 )(2 , 3)2.5负负-0.084(2.5,3) 2.75负负0.512(2.5,2.75)2.625负负0.215(2.5,2.625)2.5625负负0.066(2.5,2.5625)2.53125负负-0.009(2.53125,2.5625)2.546875负负0.029(2.53125,2.546875)2.5390625负负0.010(2.53125,2.5390625)2.53515625负负0.001f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正精确度已达到精确度已达到0 0．．0101| 2.5390625 －－2.53125|=0.0078125<0．．01 2024/9/197 结论结论1.1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值．近似值．2.2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如0 0．．0101时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值．以作为零点的近似值．3.3.本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为0 0．．0101的要求下，我们可以的要求下，我们可以将区间将区间(2.53125,2.5390625)(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为内的任意点及端点作为此函数在区间此函数在区间(2(2，，3)3)内的零点近似值．内的零点近似值．4.4.若再将近似值保留两为小数，那么若再将近似值保留两为小数，那么2 2．．5353，，2 2．．5454都都可以作为在精确度为可以作为在精确度为0 0．．0101的要求下的函数在的要求下的函数在(2(2，，3)3)内的零点的近似值．一般地，为便于计算机操作，常内的零点的近似值．一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即取区间端点作为零点的近似值，即2 2．．53125531252024/9/198 象这种运用象这种运用缩小零点所在范围缩小零点所在范围的方法在数学和计算机的方法在数学和计算机科学上被称为科学上被称为二分法二分法二分法的实质二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．逐步逼近零点． 对于在区间对于在区间[a[a，，b]b]上连续不断且上连续不断且 的函数的函数 ，通过不断地把函数，通过不断地把函数 的零点所在的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2024/9/199 概括利用二分法求函数概括利用二分法求函数 零点的近似值的步骤零点的近似值的步骤1．确定区间．确定区间[a，，b]，验证，验证，给定精确度，给定精确度2．求区间．求区间(a，，b)的的中点中点c3．计算．计算f(c)(1)若若f(c)=0，则，则c 就是函数的零点就是函数的零点(2)若若，则令，则令b=c（此零点（此零点））4．判断是否达到精确度．判断是否达到精确度：即若：即若，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b)；否则重复步骤；否则重复步骤2-4．．(3)若若，则令，则令a=c（此时零点（此时零点））定区间，找中点，定区间，找中点， 中值计算两边看中值计算两边看.口口 诀诀同号去，异号算，同号去，异号算， 零点落在异号间零点落在异号间.周而复始怎么办周而复始怎么办? ? 精确度上来判断精确度上来判断. .),(0cax Î Î2024/9/1910 求方程求方程 的近似解的近似解( (精确到精确到0 0．．1)1)解解易知：易知：f(1)<0，，f(2)>0取，计算取，计算f(1.5)≈0.33>0取，计算取，计算f(1.25)≈-0.87<0取，计算取，计算f(1．．375)≈-0.28<0取，计算取，计算f(1.4375)≈0.02>0∴∴ 原方程的近似解取为原方程的近似解取为2024/9/1911 P102)习题习题A组第组第3题题 借助计算器或计算机，用二分法求方程借助计算器或计算机，用二分法求方程 在区间在区间(-1,0)内的近似解内的近似解(精确度精确度0.1) 解解易知：易知：f(-1)<0，，f(0)>0取，计算取，计算f(-0.5)≈3.375>0取，计算取，计算f(-0.75)≈1.58>0取，计算取，计算f(-0.875)≈0.39>0取，计算取，计算f(-0.9375)≈-0.28<0∴∴ 原方程的近似解取为原方程的近似解取为2024/9/1912 作业作业1 1：：P92 P92 习题习题3.1 A3.1 A组组 3 3 、、4 4 、、5 5 学业测评：课时作业学业测评：课时作业预习函数模型及应用预习函数模型及应用课课 堂堂 小小 结结1. 二分法的定义；二分法的定义；2. 用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤.2024/9/1913 。
