数模培训围棋模型5.ppt

围棋中的数学模型围棋是一项智力性很强的棋类项目，其起源说法很多，关于围棋棋盘的边数设置及胜负贴目规定也一直随着人们对围棋认识的不断深入而逐渐变更着，现在的围 棋棋盘虽已确定每边19道，胜负贴目也基本有所公论，但终缺一个令人信服的说明或证明一、问题及分析众所周知，自围棋问世以来，围棋棋盘的设置经历了数次变化，这自然会令人提出一个问题：现在的棋盘是否还会变化？方形棋盘每边设计多少道才是最佳的？另外，关于先手贴后手的目数规定也经历了一些变化，那么，到底先手帖后手多少目才最为合理呢？我们先来研究一下方形棋盘围棋棋盘是由纵横交错的线组成的方形交叉点域，我们把四条边界线称为一线，与边界相邻的四条线称为二线，这样，依次根据与边界的距离而称为各线为三线、四线——各线上的点由于距离边界相同，因此，它们便具有比较一致的特性下围棋最先考虑的还是棋块的死活问题，所谓棋块，即是棋子相互接连没有被断而形成的整体，如果一块棋不活，占的交叉点再多也没用，因此，研究每一线围棋的作用时，应首先考虑那一线棋子的成活速度，即最 快——更确切地说是用最少的点来得到活棋，我们先引入准活型的概念：定义 一棋块虽不是成活型棋块，但当对方进攻此棋块时，总可以通过正确应对而最终成为活棋，则此块棋称为准活型棋块。

准活型的概念显然有其实际意义，事实上，对弈开局时棋手们只是把棋走成大致的活型，而并非耗费子力去真正把棋块做成成活型例1 计算二线、三线、四线棋子形成准活型棋块所用的最少子数我们摆出二线、三线、四线的最快准活型：图1用由此可以看出，三线较线较 二线线、四线线的成活速度要快从此例还还可以看出，五线线、六线线等其他线线型成准活型的速度显显然要慢于三线线，即（i为自然数）表示第i线形成准活型所用的最少子数，从图1易得到因此，就控制边边的能力上看，三线具有最快成活的特点，从而成为围棋杆上重要的一线二、棋盘模型的建立为了对围棋问题建立数学模型，需对围棋棋子价值有个数学描述，为此我们给出如下定义：定义2 对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商 值称为此棋块的目效率，记为PE从上边定义看出，目效率表示单位棋子所占的目数，即表示此棋块平均占有目数的 能力下面利用此概念对围棋棋盘问题建立模型围棋的棋盘由古时的每边11道增至现在的 每边19道，其间历经数千年这种进化的过程也显示着人们的认识逐渐接近真理现在的棋 盘经受了二千年的考验，其边数设置必有其合 理性，关键在于先手和后手的无差异上，古人 在不贴子的情形下仍可公平对弈，说明先下的 一方占的便宜不会太大。

可以推测，围棋内部 一定存在两种抗衡的力量，使先手即使先落子 也无法取得多少优势一般的棋类（如象棋），往往有攻有守，攻守之间有一种平衡，而且随时可以转换，因此，先手一方即使先进行攻击也未必得胜由此可以说，一般棋类之所以变化无穷，根本原因在于其包含了攻与守这既对立又统一的两个方面它们在胜负的天平上地位相同，相互抑制，一切取胜的走法或定式不过是围绕着攻与 守，或以守为攻——来进行罢了围棋亦如此，但围棋的攻守（攻为欲杀死对方，守为不被对方杀死）却显然不同于其他棋类由于弈棋双方轮换落子，因此，单纯为杀死对方而进行攻击要比防守来得困难就是说，围棋里的攻与守无法取得相同的地位，因此，绝不能把围棋也认为是攻与守的对立一体但围棋那样富于变化，从根本上讲，其内部一定存在着两种力量的抗衡这两种力量既可以对抗，又可随时转换关于这两种力量的确定自然要涉及围棋的特点，我们知道，任何事物的两个对立面之间的斗争都是围绕着事物的发展规律而展开的，象棋的两个对立面之所以是攻与守，无非是缘于其取胜规则为吃掉对方的将（帅），不进攻当然不行因此，在确定围棋中对抗的两种力量时必须意识到：这两种力量抗争的最终目 的与围棋的目的应统一的，即多占地盘。

首先，我们把围棋棋盘按区域特点笼统地分为边部和中腹从做活和占地两个 角度看，边部因空间受阻而易受攻击，但 可利用边部成目快的特点迅速做活，有根 据地后再图发展；中腹则则由于四方皆可发发展，不容易受到攻击击，做活便退居其次，而先去抢抢占空间间，由此可见见，边边部和中腹将成为围为围 棋中的两种对对抗的努力，除此之外，还应还应 保证证两种势势力所具有的价值值相同，从而使二者能够够真正地进进行抗衡，这这是必要的，否则则，无论论偏重哪一方，围棋都会成为单一争夺边部或中腹的乏味游戏，而且使先手棋获益颇大前面在讨论讨论 三线线的作用时时，曾经经指出三线线控制边边部的优势优势 ，显显然，控制中腹的重任无疑落到了紧邻紧邻 的四线线上，这样这样 ，问题问题 最终终可化为为：怎样设计样设计 方形棋盘盘（即每边选边选 取多少道）使三线围线围 成的边边部与四线围线围 成的中腹具有相同的地位或最小的差异？三线线点、四线线点设设置如图图2（此时时棋盘盘每边边道数为为19）、设设三线线点、四线线点组组成的棋块块目效率分别别为为根据三线线与四线线目效率相近的原则则，我们们提出本节节的数学问题问题 ：方形围围棋棋盘盘每边设边设置多少道数，将使的绝对值绝对值 最小？三、模型求解 假设设棋盘盘每边为边为 x道，x为为自然数，为为了 实实用的需要，围围棋棋盘盘不宜太大，也不宜太 小，设设11≤x≤23。

参照图图2（此时时x＝19），由 于对对x的限制，三线围线围 成的边边及四线围线围 成的中 腹已成为实为实 空，对对方无法在其中做活这样这样 ，所有三线围线围 成的目数为为8x-16，其目效率为为PE3=而由四线围线围 成中腹的目数为为（其目效率为为两目效率之差为为图2 方形棋盘每边19道时的情形对对于PE3，如果把x看作连续变量，易看 出它是关于x的单调下降函数，这是因为PE3可改写为同理，对对有将关于x求导得由，从而即关于x单调单调 上升，这这将导导致也关于x单调上升因而，对于方程若有解，其解只能有一个又由于故由连续连续 函数介值值定理，开区间间（18，19）中，显显然其解非整数而我们寻们寻 求的是使最小的整数解，的单调单调 性及即知将使最小的解含在由四、胜负贴目的估算 围棋是一项竞技活动，从公平的意义上讲，弈棋双方如果水平棋力严格相同的话（尽管这在实际中不可能），无论谁先手下棋，其结果都是两方占地相同因此围棋对弈应该有和棋对 围棋最终的结局必须有明确合理的规定——先手贴后手几目――以保证弈棋双方的平等地位下面利用目效率对胜负贴目的可能目数做一估算围棋棋盘每边道数的确定19×19，使围棋中的三线与四线的地位几乎相同。

确切地讲， 是三线点占边部实空与四线点占中腹实空的目 效率近似相等，当一方抢占边角（占三线点） 时，另一方可用中腹（占四线点）相对抗从 数学的角度抽象地看，目效率的概念也可使我 们摆脱棋盘的束缚，不必考虑三线点、四线点 数目的不同及它们在特定棋盘上的位置差异， 而把围棋直接想象为三线点与四线点的阵营对 抗 由于四线线点目效率比三线线点的目效率略 高约约0.09，故先手一方挑选选四线线而占之，后 手因为为有足够够的贴贴目补补充抵消三线线与四线线 的差异而从容地在三线应线应 之，效率对对双方不 偏不倚现现在的问题问题 是：先手需贴贴后手多少 目可平衡这这微小差异？三线线点、四线线点设设置 仍如图图２，再设设四线线需贴贴三线线ｙ目，由双方目效率相等的原则， 有即先手终终局时时需贴贴出5.2目（事实实上目数不会出现这现这 种小数），这这与现现在中国（贴贴子）及日本（贴贴5目半）的胜负规则胜负规则 比较较接近五、总结与讨论以上推理演绎抛开了围棋的具体弈法， 利用效率概念从宏观上对围棋进行数学模拟， 提出了两个数学问题令人鼓舞的是，这两个 问题的数学结果恰巧与围棋的实际状况或经验 相符或接近当然，我们的模型应是客观地建立在围 棋本身的规则或规律上，关于围棋本质性的东 西还有待进一步认识。

对以上的推理和计算我 们还可做另外的假设我们们考查图查图 ２中的四个三三点与四个四四 点（即星位），发现发现 它们对围们对围 空并未起什么 作用，去掉它们们三线线点与四线线点依然连连成一 体成空地，故这这些点对对成目不起效用，而只 能算官子，或防止对对方切断的一手因此， 在模型求解中有因此，棋盘盘确定问题变为问题变为 ：当自然数ｘ为何值时的绝对值绝对值 最小？与模型求解中解法相同，我们们仍易得出即这这种假设设的变动变动 并不影响棋盘盘的道数， 我们们再来看胜负贴胜负贴 目的估算，显显然，此时胜负贴时胜负贴 目的估算中的方程变为变为即先手需贴贴后手7目，这这与应应氏规则规则 有些相近。