易错点1忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全.doc

易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面例 1、设，，若，求实数 a 组成的集2|8150Ax xx|10Bx ax ABBI合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极ABBIBA易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象解析：集合 A 化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程 3,5A ABBIBAB无解，此时 a=0 符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为 3 或 5，代入得10ax B10ax 或综上满足条件的 a 组成的集合为，故其子集共有个1 3a 1 51 10,,3 5328【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集 Φ 的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，22,|4Ax yxy，其中,若求 r 的取值范围。

将集合所表 222,|34Bx yxyr0r ABI达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4）为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围思维马上就可利用两圆的位置关系来解答此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用练 1】已知集合、，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA则实数 a 的取值范围是 答案：或1a 1a  【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则例 2、已知,求的取值范围22214yx 22xy【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大22214yx 解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=22214yx 42y+因此当x=-1时x2+y2有最小值 1, 当 x=-时，x2+y2有最大值。

故x2+y2的取值范围是[1, 328 38 328]328【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对 x、y 的限制，22214yx 显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，此外本题还可通过三角换元22y 转化为三角最值求解练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为22214xy b0b 22xy（）（A）（B）（C）（D）2 4 044 24bbb b 2 4 024 22bbb b 2 44b2b答案：A【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域例 3、是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数 21 12xxaf x 1fx【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，设,则由于故，1a  21 21xxf x yf x211xyy 1y 121xy y，而所以1 1 2logy yx  21 21xxf x211,121x   1 11 2log11x xfxx  【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。

2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和1( )( )fbaf ab函数值要互换练 3】（2004 全国理）函数的反函数是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxxC、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易错点 4】求反函数与反函数值错位例 4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线 12 1xf xx yg x11yfx对称，则的解析式为（）yx yg xA、 B、 C、 D、 32xg xx 2 1xg xx 1 2xg xx 3 2g xx【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为 yg x11yfx的反函数是则==而11yfx1yf x yg x1f x  12132 11xx xx错选 A解析：由得从而再求 12 1xf xx 11 2xfxx  11121211xxyfxx 的反函数得。

正确答案：B11yfx 2 1xg xx【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示11yfx1yf x中 x 用 x-1 替代后的反函数值这是因为由求反函数的过程来看：设则 1fx1yf x， 11fyx再将 x、y 互换即得的反函数为，故 11xfy1yf x 11yfx的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎1yf x11yfx【练 4】 （2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称例 5、判断函数的奇偶性2lg 1( )22xf xx【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函数的解析式知 x 满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，21022xx   1,00,1U在定义域下易证即函数为奇函数。

 2lg 1xf xx fxf x 【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域2）函数具有奇偶性，则是对定义域内 x 的恒等式 f x f xfx或 f xfx 常常利用这一点求解函数中字母参数的值练 5】判断下列函数的奇偶性：①②③ 2244f xxx  111xf xxx 1sincos 1sincosxxf xxx答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系从而导致解题过程繁锁例 6、函数的反函数为，证明是奇函数且 22 21 211log22x xf xxx  或 1fx 1fx在其定义域上是增函数思维分析】可求的表达式，再证明若注意到与具有相同的单调性和奇偶性， 1fx 1fx f x只需研究原函数的单调性和奇偶性即可 f x解析：，故为奇函数从而为212121 212121 222logloglogxxx xxxfx   f x  f x 1fx奇函数。

又令在和上均为增函数且为增函数，21212121xtxx 1,2 1,22logty 故在和上分别为增函数故分别在和上分别 f x1,2 1,2 1fx0,,0为增函数知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数 （2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性 （3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 （4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换1( )( )fbaf ab【练 6】 （1） （99 全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）( )2xxeef xA、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数 f x f xC、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数 f x f x答案：A（2） （2005 天津卷）设是函数的反函数，则使成立的 1fx 112xxf xaaa 11fx的取值范围为（）A、 B、 C、 D、x21(,)2a a21(,)2a a21(, )2aaa( ,)a 答案：A （时，单调增函数，所以1a  f x    2 1111112afxffxfxfa 。