留数的概念及留数的求法.ppt

复变函数论复变函数论Functions of One Complex Variable第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用§6.1 留数留数§6.2 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分§6.3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理 设函数设函数f(z)在点在点a解析解析.  作圆作圆   C:| z–a |=r 设设函函数数f(z)在在区区域域0<|z-a|

逐逐项项积积分分，，我我们们有有因此因此         注注1. 我我们们定定义义的的留留数数                   与与圆圆Γ的的半半径径ρ无无关关：：事事实实上上，，在在0<|z-a|

因此根据柯西定理，因此根据柯西定理， 注注1. 留留数数定定理理在在两两个个完完全全不不同同，，也也不不相相干干的概念之间架起了一座桥梁的概念之间架起了一座桥梁. 注注2. 具体计算一定要注意前面的系数具体计算一定要注意前面的系数2πi. 注注3. 柯柯西西积积分分定定理理与与柯柯西西积积分分公公式式都都是是柯柯西留数定理的特殊情形西留数定理的特殊情形. 注注4. 留留数数定定理理把把计计算算周周线线积积分分的的整整体体问问题题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题. 2.留数的求法留数的求法 计算计算f (z)在孤立奇点在孤立奇点a的留数时，我们的留数时，我们只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数c-1 ，，应用洛朗级数是求留数的一般方法应用洛朗级数是求留数的一般方法.但是对但是对于奇点较多的情形此法较繁于奇点较多的情形此法较繁. 对于计算对于计算f (z)在极点在极点a处处的留数时，我的留数时，我们有下面的定理：们有下面的定理： 定理定理6.2  设设a为为f(z)的的n阶极点，阶极点， 推论推论6.3  设设a为为f(z)的二阶极点，的二阶极点， 定理定理6.2的结论也可写成的结论也可写成 推论推论6.3  设设a为为f(z)的一阶极点，的一阶极点， 定理定理6.5  设设a为为                   的一阶极点的一阶极点. 其中其中P(z)及及Q(z)在在a解析，解析，P(a)≠0 ，，Q(a)=0.    例例1.   函数函数因此因此有两个一阶极点有两个一阶极点 z =±i ，这时，这时      例例2.  函数函数  在在z=0有三阶极点，而有三阶极点，而因此因此由上述公式也可得：由上述公式也可得：       例例3.  函数函数在在 z =  i 有二阶极点有二阶极点. 这时这时令令z=i+t，那么在，那么在的的泰泰勒勒展展式式中中，，t的的系系数数就就是是f(z)在在z=i处处的的留留数数。

写出写出h(t)中每个因子的到中每个因子的到t的一次项，我们有：的一次项，我们有：当当|t|<1时时,因此当因此当|t|<1时，时， 于是于是由上述公式也可得：由上述公式也可得：例例6.3   计算积分计算积分 . 解解                    只以只以  z = 0 为三阶极点为三阶极点.例例6.4  计算积分计算积分 . 解法一解法一例例6.4  计算积分计算积分 . 解法二解法二               的全部零点为的全部零点为            在在 |z| = 1内只有内只有  z = 0 一个零点一个零点. 且为被且为被积函数的一阶极点积函数的一阶极点. 例例6.5   计算积分计算积分 . 解解                          只以只以z = 0为本质奇点为本质奇点.本本 讲讲 结结 束束作作 业业 第第269页页1.(4)(5)(6)。