单一颗粒流分形模型及有效热导率计算 1997.pdf

收稿日期: 1996211204.张 智,男, 1968年生,硕士;武汉,华中理工大学物理系(430074).单一颗粒流分形模型及有效热导率计算张 智 张端明 郁伯铭 张新宇(物理系)摘 要 首次提出了颗粒流中粒子的分形模型,得到粒子在不同分维下的分形分布,并和麦克斯韦分布进行比较,分析了两种分布产生差异的物理机制.在此基础上研究了单一颗粒流的有效热导率,得到其解析表达式,并分析了有效热导率随粒子温度、 粒子分维的变化规律.关键词 有效热导率;分维;分形分布分类号 O 359; O 411颗粒流广泛出现在采矿、 食品加工、 制药的运输过程中.从现有文献来看,对颗粒流的研究主要是运用密气体运动学理论[1],把颗粒视为大小相等、 表面光滑的球,不计颗粒的大小和表面形状对颗粒流性质的影响.由于研细颗粒的形成过程是随机的、 无序的,形成的颗粒大小不相等、 表面不光滑,传统的方法很难描述.若干类颗粒的大小和表面均具有分形特性,已在许多实验中得到证实.本研究从颗粒大小的分形特性出发,在密气体运动学理论的基础上,应用分形理论,率先建立了颗粒流中粒子的分形模型,得到了粒子在不同分维下的分形分布函数,并据此研究了单一颗粒流的有效热导率,得到了颗粒流的有效热导率随温度、 分维的变化规律.1 颗粒的分形分布模型密气体运动学理论中的单一粒子速度分布函数为[2]f(1)(C) =f(0)(C) +f(c)(C) =f(0)(C) [1 +m vyCy?(kT) ],(1)式 中,f(0)(C) =[m?(2ΠkT) ]3?2exp [ -m C2?(2kT) ]是麦克斯韦分布;f(c)(C)是一个修正项,C为颗粒的速率;T为粒子的温度;Cy为粒子在y方向的速率;vy为粒子在y方向的扩散速率.从统计物理学可知,vy=aT(a为比例常数),粒子的质量可表示为m=ΘpKvr3,Θp为粒子质量密度;Kv为粒子的体积形状因子;r为粒子尺寸.由 分 形 的 基 本 定 义,按 尺2频(size2frequency)关系,颗粒分布遵循以下形式[3]:YNr(t) = 1 -n0(r?rmax)-D,(2)式中,YNr(t)表示尺寸小于r的粒子数Nr与系统 总粒子数N之比;D为粒子的分维;rmax为粒子的 最大特征尺寸;n0表示尺寸为rmax的粒子数密度. 由于Nr和N都很大,YNr(r)也表示尺寸小于r 的粒子出现的几率,将式(2)微分,得到尺寸在 区间[r,r+ dr]内的粒子出现的几率为dYNr(r) =n0D rD maxr-(D+ 1)dr.尺寸在[r,r+ dr]一个很小间隔内的所有粒子可 以认为大小相等,在不计及表面光滑度的条件下, 式(1)仍然成立.设粒子尺寸r和速度C的分布互相独立,则尺寸在区间[r,r+ dr]内,速度为C 的粒子出现的几率为dP(C,r,D) =f(1)(C)dYNr(r) =n0D rD maxı[ΘpKv?(2ΠkT) ]3?2exp [ (-ΘpKvr3?(2kT))C2]ı[1 +(ΘpKvr3vy?(kT))Cy]r7?2-Ddr.(3)由式(3)得到速度为C,粒子尺寸为r,分维 为D的粒子出现的几率,即单一粒子分形分布函 数为F(1)(C,r,D) = dP(C,r,D)?dr=F(0)(C,r,D) +F(c)(C,r,D),(4)式中单一粒子分形分布函数的零级近似及其一级 修正项分别为F(0)(C,r,D) =n0D rD maxr7?2-D[ΘpKv?(2ΠkT) ]3?2exp [-(ΘpKvr3?(2kT))C2];(5)F(c)(C,r,D) =n0D rD max(vyCy?(2Π2Π))r13?2-D[ΘpKv?(kT) ]5?2ı第25卷 第11期 华 中 理 工 大 学 学 报 Vol. 25 No. 111997年 11月 J. Huazhong U niv. of Sci .曲线2—r= 15. 0Λm,D= 1. 7;曲线3—f(0)(C)从图可以看出:分形分布的函数曲线比麦氏分布的函数曲线尖锐,随着颗粒分维值的增大,其分形分布的函数曲线趋向平缓. C C2 有效热导率的计算及结果分析颗粒流中粒子各种参量 7(如动量、 能量等)的系综平均值为〈7 〉=1 nκ7F(1)(C,r,D)drdC.(6)设颗粒流只在y方向存在温度梯度,考虑在一个很小的局域范围中,粒子移动一个短距离l到达流体温度为T0的新位置,通过求解瞬态能量方程,得到粒子的温度响应[2]:T=T0-(m cpCy?(hAp)) (dT?dy)ı{1 -exp [-hAply?(m cpCy) ]},式中,Ap=Ksr2为粒子的表面积,Ks为粒子的表面形状因子;cp为粒子的比热;ly为l在y方向的分量;h为粒子与流体间的传热系数;hAply?(m cpCy)=hApl?(m cpC)是Biot数B i=hlp?kp和Fourier数Fo=kptAp?(lpm cp)的乘积,kp为粒子的热导率,lp为粒子的特征长度,t为粒子移动距离l所用的时间.粒子移动距离l而带到新位置的附加能为∃e=m cp(T-T0).由于粒子与粒子碰撞接触面积很小、 时间很短,因此粒子在碰撞期间的热传导可以忽略[4].对Cy和 ∃e的乘积在粒子整个速度空间积分,并考虑到式(4)和式(6),得到y方向的热流量qy=n〈∃eCy〉= -c2p hdT dyκm2C2 y Apı{1 -exp [-hApl?(m cpC) ]}[F(0)(C,r,D) +F(c)(C,r,D) ]drdC.(7)注意到 ∃eCy与F(c)(C,r,D)的乘积是Cy的奇函数,从式(7)得到颗粒流的有效热导率为keff=4c2pn0D rD max(ΘpKv)7?23ΠhKs(2kT)3?2∫∞0∫rmaxrm inC4ı{1 -exp [-hKsl?(cpΘpKvrC) ]}ıexp [ (-ΘpKvr3?(2kT))C2]r15?2-DdrdC.(8)采用以下方法处理式(8):视颗粒尺寸的平 均值rλ为d,特征长度l为粒子在流场中的平均 自由程 Κ=d?(62Μg0(Μ))[2],则keff=8n0c2pkΘpKv#(Μ,D) 3ΠhKsT;(9)式中,#(Μ,D) =D rDmax∫∞0∫rmaxrm inΞ4ı{1 -exp [-B?(12Μg0(Μ)rΞ) ]ıexp (-r3Ξ2)r15?2-DdrdΞ,(10)其 中,Ξ=C[ΘpKv?( 2kT) ]1?2,B=rλhKs?[cp(ΘpKvkT)1?2];g0(Μ) = (2-Μ)?[2 (1-Μ)3][2],Μ为固体因子.当Bν1,即B iFoν1时,式(10)简化为#(Μ,D) =B8(D)?[12Μg0(Μ) ],式中8(D) =D rD max∫∞0∫rmaxrm inΞ3exp (-r3Ξ2)r13?2-DdrdΞ,式(9)简化为keff=2cpn0rλ(kΘ pKv)1?28(D)9ΠΜg0(Μ)T1?2.(11)从式(9)和式(11)可得:当B iFo很小时,颗粒流的有效热导率与颗粒温度的平方根T1?2成正比(这与文献[2]的结论相一致),当B iFo很大时,颗粒流的有效热导率与颗粒温度T成正比.将有效热导率keff无量纲化,则式(11)变为keff?(n0cprλΘpKvkT) = 8#(Μ,D)?(3ΠB).无量纲有效热导率keff?(n0cprλΘpKvkT)在相同的B值和 Μ 值下(B= 0. 1,Μ= 0. 5),随颗粒分维D的变化规律如图2所示. 可以发现颗粒流的有效热导率随着颗粒分维D的增大而增大.其主要原因是:颗粒分维D越801 华 中 理 工 大 学 学 报 1997年图2 颗粒流有效热导率随分维D的变化曲线 大,颗粒细度愈细,对应颗粒的尺寸愈小,而尺寸 小的颗粒温度比尺寸大的颗粒温度要高[5].根据上面的分析就可以得出结论:颗粒分维D越大, 其颗粒流的有效热导率越大. 需要指出的是: a.本文没有考虑粒子表面分 维Ds的影响; b.本文讨论了颗粒流只在y方向 存在温度梯度的特殊情况,在这种情况下,修正项F(c)(C,r,D)不影响粒子的有效热导率,是偶然的巧合,如果粒子处在更复杂的温度场下,F(c)(C,r,D)将影响粒子的有效热导率,对此以后将撰文讨论.参考文献1 Chapman S, Cow ling T G. TheM athematical Theoryof Non2U niform Gases . Cambridge: Cambridge U ni2versity Press, 1970.2 H siau S S, Hunt M L.Kinetic Theory A nalysis ofFlow2Induced ParticleD iffusion and ThermalConduc2tion in Granular M aterial Flow s .J.Heat T ransfer, 1993, 115: 541～5483 郁 可,郑中山.粉体粒度分布的分形特征.材料研究学报, 1995, 9 (6): 539～5424 Sun J, Chen M M. A Theoretical A nalysis of HeatT ransfer due to Particle I mpact.Int.J.Heat M assT ransfer, 1988, 31 (5): 969～9755 Shen H H.Stresses in a Rapid Flow of SphericalSolids w ith Two Sizes.Int. J. Part. Sci . and Tech. ,1984, 2 (1): 37～56The FractalM odel for a Single Species of Granular Flow and Computation of Effective Thermal ConductivityZhang Zhi Zhang D uanm ing Yu B om ing Zhang X inyuAbstract Based on the fact that many pulverized particles possess fractal features, a fractalmodel forstudying fine particles in granular material flow s is first proposed. A n expression of particles fractaldistribution is derived to describe the relationship between the particle fractal dimensions and particlesvelocity distribution function. Based on themodel, the theoreticalparticle effective thermal conductiv2ity is derived.The analytical results show that for small Biot2Fourier number, the effective thermalconductivity increases w ith the square root of the granular temperature; and for very largeBiot2Fouri2er number, the effective thermal conductivity increases linearly w ith the granular temperature.Re2sults calculated numeric。