拉格朗日乘数法的证明与几何意义.docx

拉格朗日乘数法的证明与几何意义 摘要】拉格朗日乘数法是高数的重要知识，各教材没有给出证明，而目前看到的各种证明比较复杂难懂.本文利用方程公共解及曲面族的性质，给出了简单易懂的证明，并对其几何意义做出了解析.【关键词】拉格朗日乘数法;公共解;简易证明;几何意义引理 曲面〔线〕π：F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0 在曲面族k1F2〔x1，x2，…，xn〕+k2F2〔x1，x2，…，xn〕…+kmFm〔x1，x2，…，xn〕=0上.证明 对任意满足方程组π的〔x1，x2，…，xn〕，有Fi〔x1，x2，…，xn〕=0〔i=1，2，…，m〕，代入〔1〕得k1F2〔x1，x2，…，xn〕+k2F2〔x1，x2，…，xn〕+…+kmFm〔x1，x2，…，xn〕=k10+k20…+km0=0.得证.定理 〔拉格朗日乘数法〕在p0〔x10x20…xn0〕的某个邻域有连续偏导的曲面〔线〕y=f〔x1，x2，…，xn〕，在p处取得满足条件F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0 〔Fi在p的某个邻域有连续偏导，m下极值，那么有〔1〕Fxi〔p0〕=0〔i=1，2，…，n〕，其中F=f〔x1，x2，…，xn〕+k1F2〔x1，x2，…，xn〕+k2F2〔x1，x2，…，xn〕+…+kmFm〔x1，x2，…，xn〕，其极值点满足Fxi〔p0〕=0〔i=1，2，…，n〕，即fxi〔p0〕+kiF1xi〔p0〕+…+kmFmxi〔p0〕=0〔i=1，2，…，m〕.〔2〕F的这个极值点p0为f的条件极值点.证明 设〔x1，x2…，xn，y〕为方程组F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0，y-f〔x1，x2，…，xn〕=0 的解.由引理，可知〔x1，x2，…，xn，y〕满足方程〔f〔x1，x2，…，xn〕-y〕+k1F2〔x1，x2，…，xn〕+k2F2〔x1，x2，…，xn〕+…+kmFm〔x1，x2，…，xn〕=0，即满足y=f〔x1，x2，…，xn〕+k1F2〔x1，x2，…，xn〕+k2F2〔x1，x2，…，xn〕+…+kmFm〔x1，x2，…，xn〕=F〔x1，x2，…，xn〕.设这个函数F在F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0 的空间解集〔线或面〕为D： pFi〔p〕=0〔i=1，2，…，m〕中取得极值.不妨设在p0〔x10x20…xn0〕处取得极大值F〔p0〕，那么ΔF=F〔p〕-F〔p0〕≤0.当p→p0时，xi的增量Δxi→0，当Δxi→0-时，有limΔxi→0 ΔFΔxi≥0，当Δxi→0+时，有limΔxi→0 ΔFΔxi≤0，故有当Δxi→0时，limΔxi→0 ΔFΔxi=0.即fxi+∑mj=1kjFjxi=0〔j=1，2，…，m;i=1，2，…，n〕.现在证明此F的极值F0=f〔x10x20…xn0〕为所求.因为在p0取得极小〔大〕值，所以，ΔF=F0-F≤0〔≥0〕，y=f〔x1，x2，…，xn〕定义在F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0 的解集D： pFi〔p〕=0 〔i=1，2，…，m，m在p0的某个邻域内，有Fi〔x1，x2，…，xn〕=0，ΔF=f〔x10，x20，…，xn0〕+k1F2〔x10，x20，…，xn0〕+k2F2〔x10，x20，…，xn0〕+…+kmFm〔x10，x20，…，xn0〕-f〔x1，x2，…，xn〕-k1F2〔x1，x2，…，xn〕-k2F2〔x1，x2，…，xn〕-…-kmFm〔x1，x2，…，xn〕=f〔x1，x2，…，xn〕-f〔x10，x20，…，xn0〕=Δy.由ΔF≤0〔≥0〕得Δy≤0〔≥0〕，即F〔p0〕=f〔p0〕为y=f〔x1，x2，…，xn〕定义在F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0 的解空间D： pFi〔p〕=0  〔i=1，2，…，m，m证毕.拉格朗日乘数法的几何解释：y=f〔x1，x2，…，xn〕为定义在n维空间上的函数，其图像为n+1维度上的曲面.对y=f〔x1，x2，…，xn〕，当y=c时〔c在y值域内〕，c=f〔x1，x2，…，xn〕是平行于n维度定义空间的曲线〔等高线〕.曲面由不同高度的等高线组成.因此，y=f〔x1，x2，…，xn〕可视为在n+1维空间上由一族不同等高线组成的图形.F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0视为在平行定义空间〔n维空间〕的一条曲线G=0，在n+1维度空间是一个母线平行第n+1维y轴的柱面，它由一组平行定义空间的等高线G=0，y=c 组成.假设G=0与y=f〔x1，x2，…，xn〕不相交.将G=0上下平移，当柱面与曲面y相交时，交线即是定义在F1〔x1，x2，…，xn〕=0，F2〔x1，x2，…，xn〕=0，…Fm〔x1，x2，…，xn〕=0上的函数.交线上的点既在y的某条等高线c=f〔x1，x2，…，xn〕上，又在柱面上.得到y=G+y0与某条等高线相切，那么有共同的切线，因此有相同的梯度：grad〔y〕=kgrad〔G+y0〕，即grad〔f〕=kgrad〔G〕.此时切点在n维定义空间的投影满足G=0.切点的函数值为最值，如下列图.【参考文献】【1】同濟大学应用数学系.高等数学：第4版[M].北京：高等教育出版社，2021.【2】吕林根，许子道.解析几何：第4版[M].北京：高等教育出版社，2021.。