小学生三年级奥数 数阵图二 知识点与习题.doc

数阵图(二)　　上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为　　21×2-(1+2+…+8)=6　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4每个大圆上另外三个数之和为21-6=15　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有　　2+6+7=15和3+4+8=15，　　故有左下图的填法　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次所以三个重叠数之和等于　　11×3-(1+2+…+6)=12　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于　　[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3　　=(21+重叠数之和)÷3　　=7+重叠数之和÷3　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：　　每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次所以四个重叠数之和等于　　18×4-(2+3+…+9)=28　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意　　以上例题都是封闭型数阵图　　一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以　　已知各数之和+重叠数之和　　=每边各数之和×边数　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题　　前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13分析与解：这道题的“重叠数”很多有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)根据题意应有　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，　　即 a+a+b+c+d=11　　因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

　 练习　　1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20　　2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等　　3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15　　4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等　　5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等　　6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34　答案与提示　　　　　每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13　　每个圆周的四数之和=14　　每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16　　3.提示：四个顶点数之和为15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能经试验只有左下图一个解　　4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于　　(1＋2＋…＋8)÷7＝18　　填法见右上图填法不唯一)　　5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次　　(1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5，　　56＋顶上数=每条线上的和×5。

　　由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4所以每条线上的三个数之和为　　(56＋4)÷5＝12　　　经试验填法如上图填法不唯一)　　6.与例5类似(见上图)。