超静定结构的内力分析.ppt
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§1—2 超静定次数的确定§1—3 力法的基本概念§1—4 力法的典型方程§1—6 对称性的利用§1—5 力法的计算步骤和示例§1—7 超静定结构的位移计算§1—1 超静定结构概述第七章第七章 超静定结构的内力分析超静定结构的内力分析第一节 力法1 §1—9 温度变化时超静定结构的计算§1—10 支座移动时超静定结构的计算§1—11 超静定结构的特性§1—8 最后内力图的校核2 §1—1 概 述 1. 静定结构与超静定结构 静定结构： 超静定结构：ABCPP 全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构 仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构 ABPHAVARBVAHARBRC外力超静定问题内力超静定问题返返返返 回回回回3 PABCP↙ ↙↗ ↗↙ ↙↗ ↗ 2 . 超静定结构在几何组成上的特征多余联系与多余未知力的选择 是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部） 多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。
多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）此超静定结构有一个多余联此超静定结构有一个多余联系，既有一个多余未知力系，既有一个多余未知力此超静定结构有二个多余联此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力系，既有二个多余未知力返返返返 回回回回4 3. 超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；⑶⑶⑷⑷⑸⑸4. 超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法4）超静定刚架；（5）超静定组合结构返返返返 回回回回5 §1—2 超静定次数的确定 1. 超静定次数： 2 .确定超静定次数的方法: 解除多余联系的方式通 常有以下几种： （1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系↓↑ （2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系 用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目↓↑←→ 多余联系或多余未知力的个数。
采用解除多余联系的 方法返返返返 回回回回6 3. 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系←→↶↷↓↑ 4. 将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系 应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何 超静定结构的超静定次数X X2 2X X2 2返返返返 回回回回7 3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）←←→→↓↓↑↑← →n=6←→↓↑←→←n=3×7=21 对于具有较多框格的结构，可按 框格的数目确定，因为一个封闭框格，其 超 静定次数等于三当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 返返返返 回回回回8 §1—3 力法的基本概念 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法ABEIL 1判断超静定次数： n=1〓↑AB原结构原结构 2. 确定(选择)基本结构3写出变形(位移)条件: 〓↑(a)(a)(b)(b)q基本结构基本结构根据叠加原理，式（a）可写成返返返返 回回回回9 ↑L将代入(b)得4 .建立力法基本方程(8—1)5. 计算系数和常数项6. 将11、 ∆11代入力法方程式(8-1)，可求得ABEILq(b)(b)此方程便为一次超静定结构的力法方程。
EI12L232L∆11=11x1= EI12qL243L_ (31L)多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题利用已绘出的M1图和MP图按叠加法绘M图q返返返返 回回回回10 结结 论论 象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法力法 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题 返返返返 回回回回11 §1—4 力法的典型方程 1. 三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导AB↓P P首先选取基本结构（见图b）→X X1 1↶X X2 2AB↓P P↑X X3 3基本结构的位移条件为：△1=0△2=0△3=0设当 和荷载 P 分别作用在结构上时，A点的位移沿X1方向：沿X2方向：沿X3方向：据叠加原理，上述位移条件可写成原结构基本结构△1=（8—2）（a）（b）1121、22、23和△2P ；31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0△3=31X1+32X2+33X3+△3P=011X1+12X2+13X3+△1P=0、12、13和△1P ；返返返返 回回回回12 2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+ 12X2+ …… + 1iXi+ …… + 1nXn+△1P=0 （8—3） 这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程式中Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）11X1+12X2+13X3+△1P=0（8—2）21X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=0……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………i 1X1+ i 2X2+ …… + i iXi+ …… + i nXn+△iP=0 n1X1+ n2X2+ …… + niXi+ …… + nnXn+△nP=0 返返返返 回回回回13 3. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为： （2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。
系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零据位移互等定理，有i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移其值可能为正、为负或为零上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程 基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等返返返返 回回回回14 4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算对于平面结构，这些位移的计算公式为 对不同结构选取不同项计算系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力返返返返 回回回回15 §1—5 力法的计算步骤和示例1. 示例PABCI1I2=2I1an=2(二次超静定)原选择基本结构如图示PACB基X1X2力法典型方程为：11X1 计算系数和常数项，为此作aaa计算结果如下(a)a21X1 + 22X2+△2P=0+ 12X2+△1P=02EI112a232a=6EI1a32EI112a2a=4EI1a3返返返返 回回回回16 aaaP将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/EI1)得解联立方程得多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。
例如最后内力图的绘制用叠加法15/88×PaM图13/88×PaPABC3/88×PaaMAC= a.114P+a(883P)2Pa返返返返 回回回回17 2 .力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替) （3）写出力法典型方程 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项 （5）解算典型方程，求出各多余未知力 （6）按叠加法作内力图返返返返 回回回回18 例 1—1 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图EI=常数ABLabP解：n=3选取简支梁为基本结构P↶X1↷X2X3基本结构典型方程为11X1+ 12X2+ 13X3+△1P=021X1+ 22X2+ 23X3+△2P=031X1+ 32X2+ 33X3+△3P=011MP图P3=0,故13= 31= 23= 32= △3P=0则典型方程第三式为33X3=033≠0(因X3的解唯一)故作基本结构各和MP图由于X3=0M图11X1+ 12X2+△1P=021X1+ 22X2+△2P=0由图乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典型方程解得作弯矩图。
按式返返返返 回回回回19 例 1—2 用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同解： n=1(一次超静定)01234PP2a2aa选择基本结构如图示01234PPX1基本结构写出力法典型方程11X1+△1P=0按下列公式计算系数和自由项为此，求出基本结构的和NP值 01234 X1=1-1/2对称01234PPNP+P/2对称0列表计算(见书141页)后得EA11=(3+) aEA△1P=－Pa返返返返 回回回回20 01234 X1=1-1/2对称01234PPNP+P/2对称001234PPN对称代入典型方程，解得各杆内力按式叠加求得 例如N03Ｐ =－返返返返 回回回回21 §1—6 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程利用结构的对称性可使计算得到简化简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零 结构的对称性：例如： EI1EI1EI2aa对称对称EI1EI1对称对称 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称性(正对称或反对称)。
正对称简称对称返返返返 回回回回22 1. 选取对称的基本结构EI1EI1EI2对称轴 基本结构X1X2X3 多余未知力X1、X2是 正对称，X3是反对称的 基本结构的各单位弯矩图(见图)← →、是正对称，是反对称则13= 31= 23= 32=0于是， 力法典型方程简化为11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0下面就对称结构作进一步讨论返返返返 回回回回23 （1）对称结构作用对称荷载↓↓aaPP↓↓PPMP图图MP图是正对称的，故△3P=011X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0则 X3=0 这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零↓↓aaPP↓↓PPMP图图 （2）对称结构作用反对称荷载MP图是反对称的，故△1P= △2P=0则得 X1=X2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。
返返返返 回回回回24 例 1—4 分析图示刚架 10kN10kN6m6m6m解： 这是一个对称结构，为四次超静定 选取对称的基本结构 如图示， X1只有反对称多余未知力X1基为计算系数和自由项分别作和MP图(见图)EI=常数33图(m)10kN MP图(kN·m)6060120由图乘法可得EI11=(1/2×3×3×2) ×4 +（3×6×3）×2 =144 EI△1P=(3×6×30+1/2×3× 3×80) ×2=1800代入力法方程 11X1+△1P=0X1=－弯矩图由作出解得返返返返 回回回回25 这样，求解两个多余未知力的问题就转变为求解新的两对多余未知力的问题当选基本结构为时，2. 未知力分组及荷载分组（1）未知力分组AB PX1X2 P为使副系数等于零，可采取未知力分组的方法 PY1Y1Y2Y2有X1=Y1+Y2 ， X2=Y1－Y2作、M2图图M2图正对称反对称故12= 21=0典型方程化简为11Y1+△1P=022Y2+△2P=0 返返返返 回回回回26 （2）荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。
若取对称的基本结构计算，在正对称荷载作用下将只有对称的多余未知力 若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将只有反对称的多余未知力PP2P2P2P2X1X1X2X22P2P2P2P返返返返 回回回回27 3.取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结构的一半进行计算，又称为半刚架法下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称刚架进行讨论1）奇数跨对称刚架↓↓pp对称↓p二次超静定对称荷载反对称荷载↓p↑p反对称↓p一次超静定返返返返 回回回回28 （2）偶数跨对称刚架对称荷载↓↓pp对称↓p三次超静定反对称荷载↓↑ppI↓pI/2三次超静定↓p↑pI/2 I/2↓p↑pI/2 I/2CQCQC返返返返 回回回回29 §1—7 超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也是适用的，下面以§8—5的例题予以说明 求CB杆中点K的竖向位移△KYKP=1PABCI1I2=2I1a原 虚拟状态如图为了作8/44×a3/44×a 需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。
K图中所示的M图就是实际状态 基本结构的内力和位移与原结构完全相同，则可以在基本结构上作KP=1a/4图乘得6/44×a(↓)返返返返 回回回回30 结 论综上所述，计算超静定结构位移的步骤是： （1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态 （2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力 （3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移返返返返 回回回回31 §1—8 最后内力图的校核 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意检查尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加以校核校核应从两个方面进行1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足平衡条件 （1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足∑M=0的平衡条件例如取结点E为隔离体EMMEDEDMMEBEBMMEFEF应有 ∑ME=MED+MEB+MEF=0MM图图返返返返 回回回回32 （2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 ∑X=0和 ∑Y=0的平衡条件2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符。
对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移相符例如P PA AB BC CI I1 1I I2 2=2I=2I1 1a a原检查A支座的水平位移 △1是否为零将M图与相乘得]=0…返返返返 回回回回33 §1—9 温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，同时产生内力 用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，其原理与荷载作用下的计算相同例如图示刚架温度发生变化，选取基本结构（见图），t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3X X1 1X X2 2X X3 3典型方程为11X1+12X2+13X3+△1t=021X1+22X2+23X3+△2t=031X1+32X2+33X3+△3t=0其中系数的计算同前，自由项△1t、 △2t、 △3t分别为基本结构由于温度变化引起的沿X1、X2X3方向的位移即返返返返 回回回回34 例1—6 刚架外侧温度升高25℃，内侧温度升高35℃，绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。
刚架EI=常数，截面对称于形心轴，其高度h=L/10,材料的膨胀系数为LL+ + 25℃25℃+35℃+35℃解： n=1选取基本结构X X1 1基+ + 25℃25℃+35℃+35℃典型方程为:11X1+△1t=0计算并绘制图1 1图L LL L0 00 0-1-1求得系数和自由项为=故得= =－－230230 L L…返返返返 回回回回35 按M图作弯矩图 求横梁中点K的位移△K，作基本结构虚拟状态的 图 并求出，然后计算位移K K1 10 0图L/4L/4138138 EI/LEI/L－－1/21/2－－1/21/2返返返返 回回回回36 §1—10 支座位移时超静定结构的计算 超静定结构当支座移动时，位移的同时将产生内力 对于静定结构，支座移动时将使其产生位移，但并不产生内力例如A AB BC CA AB BC C返返返返 回回回回37 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同例如图示刚架，A AB BhLab可建立典型方程如下：11X1+12X2+13X3+△1△=021X1+22X2+23X3+△2△=－31X1+32X2+33X3+△3△=－aA AB BX X1 1X X2 2X X3 3基 式中系数的计算同前，自由项按式(7—15)计算。
7—15)最后内力按下式计算 在求位移时，应加上支座移动的影响：⌒返返返返 回回回回38 例：1—7 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分析其内力ABL解： n=3选取基本结构如图，X1X2X3基本结构 因X3=0,则典型方程为11X1+12X2+△1△=－21X1+22X2+△2△=0绘出图，11图乘得，，由题意知：△1t= △2t=0,将上述结果代入方程后解得按式作弯矩图ABM图⌢返返返返 回回回回39 §1—11 超静定结构的特性超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性： 1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力 2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关 3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何不变，故有较强的防御能力 4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些返返返返 回回回回40 第二节第二节 位位 移移 法法§2—1 概述§2—2 等截面直杆的转角位移方程§2—3 位移法的基本未知量和基本结构§2—4 位移法的典型方程及计算步骤§2—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§2—6 对称性的利用41 §2—1 概 述 力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。
力法于十九世纪末开始应用， 位移法建立于上世纪初 力法力法—— 位移法位移法—— 以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力 以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移返返返返 回回回回42 位移法的基本概念位移法的基本概念以图示刚架为例予以说明123EI=常数P 刚架在荷载P作用下将发生如虚线所示的变形Z1Z1在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移则12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）1PZ12其受荷载P作用和支座1发生转角Z1这两种情况下的内力均可以由力法求同理， 13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）13Z1 而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同样由力法求出 可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出这就是位移法的基本思路⌒⌒⌒⌒⌒Z1返返返返 回回回回43 由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量3）如何求出这些位移 下面依次讨论这些问题返返返返 回回回回44 §2—2 等截面直杆的转角位移方程 本节解决第一个问题 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式 如图所示，两端固定的等截 面梁，ABLEIPt1t2A′B′ A B△△AB AB 除受荷载及温度变化外，两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移△AB 转角A、 B顺时针为正， △AB则以整个杆件顺时针方向转动为正 在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正) 图中所示均为正值MABAMBAB返返返返 回回回回45 ABLEIPt1t2A′B′ A B△△AB AB 用力法解此问题，选取基本结构如图Pt1t2X1X2X3 多余未知力为X1、X2。
力法典型方程为11X1+12X2+ △1P+ △1t+ △1△=A21X1+22X2+ △2P+ △2t +△2△=B为计算系数和自由项，作、、MP图图1图1MP图XAXB 由图乘法算出：，，△△AB AB由图知 这里，AB称为弦转角，顺时针为 正△1t、 △2t 由第七章公式计算返返返返 回回回回46 将以上系数和自由项代入典型方程，可解得X1=X2=令称为杆件的线刚度线刚度此外，用MAB代替X1，用MBA代替X2，上式可写成MAB= 4iA+2i B－MBA= 4i B +2i A－(2—1）式中(2—2） 是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为固固端弯矩端弯矩返返返返 回回回回47 MAB= 4iA+2iB __MBA= 4iB +2iA__(2—1）式(2—1）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称为转角位移方程转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 其转角位移方程 可由式(2—1）导出，设B端为铰支，则因ABEIPt1t2lMBA= 4i B +2i A__=0可见，B可表示为A、△AB的函数。
将此式代入式(2—1)第一式，得MAB=3iA(2—3）（转角位移方程转角位移方程）式中（2—4）（固端弯矩固端弯矩）杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出有返返返返 回回回回48 §2—3 位移法的基本未知量和基本结构 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目 (1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量在固定支座处，其转角等于零为已知量至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量 1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目例如图示刚架123456 独立的结点角位移数目为2返返返返 回回回回49 (2)独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移(侧移)。
例如(见图a）1234564、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△△ P△△△△△△(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b) 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目(见图b)返返返返 回回回回50 2.位移法的基本结构 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上加上附加支座链杆附加支座链杆(阻止结点移动)123456例如 ( 见图a)(a)又例如(见图b)(b)234567共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个基本结构如图所示1 基本未知量三个返返返返 回回回回51 §2—4 位移法的典型方程及计算步骤 以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具体计算步骤。
PL1234EI=常数常数 基本未知量为:Z1、Z2 Z1Z2基本结构如图(b)所示a)(b)基本结构基本结构1234=Z1Z2↷R1=0=0PR1—附加刚臂上的反力矩R2—附加链杆上的反力据叠加原理,=Z1↷R211234↷134P↷R2P12234则有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ2返返返返 回回回回52 R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因设以 r11、r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移所引起的链杆上的反力，则上式可写成r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0(2—5) 这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程位移法基本方程(典型方程典型方程)它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条静力平衡条件件) 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0····················································ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0····················································rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0 (2—6）返返返返 回回回回53 r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0····················································ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0····················································rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0 (2—6）在上述典型方程中，rii 称为主系数主系数，rij(i≠j) 称为副系副系数数。
RiP称为自由项自由项主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j) 由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数刚度系数因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程刚度方程，位移法也称为刚度法刚度法返返返返 回回回回54 以及载荷作用下的弯矩图 为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表9—1，绘出基本结构在和MP图：1342134213424i2i3i↷PMP图 系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和R 1P；↷↷ ↷是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P r21r22R2P(a)(b)(c)可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点1为隔离体，111⃕⃔⃔ r113i4i⃕r12⃕0⃕⃕R1P⃕0⃔由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i ,R1P=r11=7i ,R1P=，对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表9—1查出杆端剪力，121212⇁ ⇁⇁ ⇁0↽ ↽↽ ↽⇁ ⇁⇁ ⇁0由方程∑X=0求得r21=－R2P=－P/2 r21r22R2PR 1Pr12 r11返返返返 回回回回55 将系数和自由项代入典型方程(9—5)有解此方程得所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。
最后弯矩图由叠加法绘制：例如杆端弯矩M31为M图图1234PM图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）返返返返 回回回回56 最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核其方法与力法中所述一样，这里从略结结 论论由上所述，位移法的计算步骤归纳如下： (1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)， 并引入附加联系而得到基本结构 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结 构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩 或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作 用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡 条件求出各系数和自由项 (4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图 返返返返 回回回回57 例 2—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a及转角=a/L，试绘其弯矩图ABCEI2EILLA′a⌒ 解：基本未知量 Z 1(结点C转角)；Z 1基本结构如图示；ABC↷Z 1基本结构基本结构建立位移法典型方程：r11Z1+R1△=0为计算系数和自由项，作和M△图(设EI/L=i) ABC↷Z 1=1b8i4i3iABCM△图 基本结构由于支座位移产生的固端弯矩(由表9—1)查得20i16i12i↷↶↶8i3i由求得r11=8i+3i=11i由M△图求得↷↶↶12i16iR1△=16i+12i=28i↷R1△△ r11R1△△返返返返 回回回回58 将上述系数和自由项代入典型方程，便有11iZ1+28i=0解得Z1=刚架的最后弯矩图为ABCABC↷Z 1=18i4i3iABCM△图20i16i12i例如：MAC= 4i×+20i=M图↷R1△△返返返返 回回回回59 § 2—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件，建立位移法的基本方程。
我们也可以不通过基本结构，直接由平衡条件建立位移法基本方程举例说明如下1234PLiii取结点1，由∑M1=0及截取两柱顶端以上横梁部分，由∑X=0 (见图)得↶↶M12M13112←←Q24Q13∑M1=M13+M12=0 (a)∑X=Q13+Q24=0 (b)由转角位移方程及表10—1得将以上四式代入式(a)、(b)得这与§9—4节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同返返返返 回回回回60 §2—6 对称性的利用 在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论：对对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的在位移法中，同样可以利用这一结论简化计算例如：P〓〓P/2P/2⃕⃔ Ⅱ ⅡZ1Z1P/2P/2⃕ Ⅱ ⅡZ2Z2+⃕‖Z3⃕ ⅡZ1P/2P/2⃕ ⅡZ2‖Z3返返返返 回回回回61 第三节第三节 力矩分配法力矩分配法§3—1 引 言§3—2 力矩分配法的基本原理§3—3 用力矩分配法计算连续梁62 §3—1 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。
为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩在结构设计中被广泛采用返返返返 回回回回63 §3—2 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便1.劲度系数、传递系数 ⑴劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： ABEIL⌒1⃕MAB=4i⃕MBAABEI⌒1⃕MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB⌒1远端滑动支撑时：EI⃕MAB=i⃕MBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB⌒1⃕MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i返返返返 回回回回64 (2) 传递系数CijABEIL⌒1↷MAB=4i↷ABEI1↷MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB⌒1EI↷MAB=i↷MBA=-iSAB=MAB=iAB⌒1↷MABEISAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数传递系数，用CAB表示。
即或 MBA=CABMAB远端固定时：CAB远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑： CAB=－1由表右图或表(10—1)可得MBA=2i返返返返 回回回回65 2. 力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理1234qP(a)1234(b)MP图 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩↷R1P1↶↶↷↷R1P返返返返 回回回回66 r11=式中∑S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和1234(c)图⃕‖2i124i123i13i14绘出结构的图（见图c)， 计算系数为：解典型方程得Z1= 然后可按叠加法 M=计算各杆端的最后弯弯矩4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= ∑S1j返返返返 回回回回67 M12=M13=M14=以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。
第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数分配系数，其计算公式为1j=(3—1)结点1的各近端弯矩为：返返返返 回回回回68 1j =(3—1)显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即∑ 1j =1 各远端弯矩如下M21=M31=M41=各式右边的第一项仍是固端弯矩第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩返返返返 回回回回69 得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列出典 和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩 ，其过程分为两步：(1)固定结点 即加入刚臂此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩返返返返 回回回回70 例 3—1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=AC=AD=ABACAD(2)计算固端弯矩据表(10—1）EI2EIEI4m2m2m4m12qL2=+12qL2=+83PL=8PL=(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为ACD杆 端ABACADBACADA分配系数固端弯矩-40+400－75-250-35-35分配弯矩0最后弯矩0B60 M图图()(b)(4)计算杆端最后弯矩并作矩图35+35返返返返 回回回回71 §3—3 用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。
下面举例说明返返返返 回回回回72 例3—2 用力矩分配法计算图示连续梁012325kN/m400kN25kN/m解： 固定1` 2 结点列表计 算如下:12m6m6m12m分配系数10=12=21=23=固端弯矩MF-300+300 -600+600-300-300-4500+150+150结点1分配传递+150+150 +150+150+75+75+75+75结点2分配传递-129-129 -96-96-64-640结点1分配传递+32+32 +32+32+16+16+16+16结点2分配传递-9-9 -7-7-5-50结点1分配传递+2+2 +3+3+1+1+1+1结点2分配传递-1-10最后弯矩最后弯矩M-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-225返返返返 回回回回73 例3—3 用力矩分配法计算图示连续梁8kN4kN5m8m3m5m5m8kN4kN↷4kN·m MF0-8+8+2+4分分 配配 及及 传传 递递0ABCDEFI2I2IIii1mABCDE0-0.43 M0+4返返返返 回回回回74 8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+4121504M图图0返返返返 回回回回75 。
