E的接触点课件.ppt

第三节第三节 开集开集,闭集闭集,完备集完备集第二章第二章 点集点集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件1. 1. 开集、闭集开集、闭集开集、闭集开集、闭集lP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证 若若Eº = E , 则称则称E为开集（为开集（E中每个点都为内点中每个点都为内点) 若若 ,则称则称E为闭集（与为闭集（与E紧挨的点不跑到紧挨的点不跑到E外）外）《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件例：开区间例：开区间(a,b)为开集为开集说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 abx 证明：任取证明：任取x∈∈(a,b),取取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则则 ,从而从而x是（是（a,b）的内点，）的内点，故故(a,b)是开集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件例：闭区间例：闭区间[a,b]为闭集为闭集说明：说明： 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证a b x 证明：任取证明：任取x∈∈[a,b]c,取取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则则 ,从而x不是[a,b]的接触点，从而从而[a,b]的接触点都在的接触点都在[a,b]内，内，从而从而[a,b]是闭集。

是闭集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件注：闭集为对注：闭集为对注：闭集为对注：闭集为对极限极限极限极限运算运算运算运算封闭封闭封闭封闭的点集的点集的点集的点集ØØ即：即：即：即：A A为闭集为闭集为闭集为闭集当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当A A中的任意收敛点列收敛于中的任意收敛点列收敛于中的任意收敛点列收敛于中的任意收敛点列收敛于A A中的点中的点中的点中的点利用：利用：利用：利用：p p0 0为为E的的接触点接触点的充要条件为存在的充要条件为存在E中点列中点列{pn}, 使得使得或或p p0 0是是E的的聚点聚点的的充要条件为充要条件为存在存在E中的中的互异互异的点所成的点列的点所成的点列{pn}, 使使得得若若 （或（或 ））,则称则称E为闭集 （与（与E接近的点不跑到接近的点不跑到E外）外）《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件 Eº为为开集开集注： Eº为含于E内的最大开集E从而从而从而从而y y为为为为E E的内点，从而的内点，从而的内点，从而的内点，从而所以所以所以所以x x为为为为Eº的内点，即的内点，即的内点，即的内点，即证明：只要证证明：只要证任取　任取　 ，，，，由内点的定义知由内点的定义知任取任取 ，取，取《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件 E`E`为闭集为闭集为闭集为闭集E证明：只要证证明：只要证任取任取 ，由聚点的定义知，由聚点的定义知《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件 E`E`为闭集为闭集为闭集为闭集注： 为包含E的最小闭集E从而从而即即x为为E的聚点，从而的聚点，从而《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件2 2 开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性lP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：lP0为为 E的外点：的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。

a.《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件开集的余集是闭集开集的余集是闭集开集的余集是闭集开集的余集是闭集 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集 证明：设证明：设E为开集，即为开集，即从而《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件闭集的余集是开集闭集的余集是开集闭集的余集是开集闭集的余集是开集证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与　 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件3 3 开集的性质开集的性质开集的性质开集的性质 a. 空集，空集，Rn为开集为开集;b. 任意多个任意多个开集之开集之并并仍为开集；仍为开集；c. 有限个有限个开集之开集之交交仍为开集仍为开集注：无限多个开集的交不一定为开集，如：注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既开又闭，既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)A B《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件4闭集的性质闭集的性质4 4a.a.空集，空集，空集，空集，R Rn n为闭集；为闭集；为闭集；为闭集；5 5b.b.任意多个任意多个任意多个任意多个闭集之闭集之闭集之闭集之交交交交仍为闭集；仍为闭集；仍为闭集；仍为闭集；6 6c.c.有限个有限个有限个有限个闭集之闭集之闭集之闭集之并并并并仍为仍为仍为仍为闭集。

闭集注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]若若E为开为开集，则集，则Ec为闭集为闭集;若若E为闭为闭集，则集，则Ec为开集为开集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件5 .隔离性定理及点集间的距离隔离性定理及点集间的距离ØØ隔离性定理隔离性定理隔离性定理隔离性定理设设设设 是是是是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两中两个互不相交的闭集，证明：存在两中两个互不相交的闭集，证明：存在两中两个互不相交的闭集，证明：存在两个个个个互不相交的开集互不相交的开集互不相交的开集互不相交的开集 ，使得，使得，使得，使得 注：隔离性定理中注：隔离性定理中“闭集闭集”的条件不能少，的条件不能少， 如如[2，，3）和（）和（3，，5]《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件点集间的距离点集间的距离点集间的距离点集间的距离 b.若若 ,则则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，反之则不一定成立，如如A={n - 1/n},B={n+1/n}（都是闭集）（都是闭集）c.d(x,B)=0当且仅当 注：注：a.若若x∈∈ B,则则d(x,B)=0;反之则不一定成反之则不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件证明：利用d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) z∈ E定理定理 设设E为为R Rn n中非空点集中非空点集 ，则，则d(x,E)是是R Rn n上关于上关于上关于上关于x x的的一致连续函数一致连续函数所以d(x,E)是R Rn n上关于上关于x x的一致连续函数。

可得d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y)《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理1 1）：设）：设）：设）：设A A为非空闭集为非空闭集为非空闭集为非空闭集 ，，，， x x∈∈∈∈R Rn n ，则必有，则必有，则必有，则必有y y∈∈∈∈A,A,使得使得使得使得d(x,y)=d(x,A)d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由 可得《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理2 2）））） ：设：设：设：设A,BA,B为非空为非空为非空为非空闭集闭集闭集闭集，，，，且且且且A A有界有界有界有界，则必有，则必有，则必有，则必有x x∈∈∈∈A, yA, y∈∈∈∈B,B,使得使得使得使得d(x,y)=d(A,B)d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由ABA有界不可少，有界不可少，如如A={n - 1/n},B={n+1/n}《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件又又B为闭集，故为闭集，故y∈∈B,另外对另外对两边关于两边关于j取极限得取极限得d(x,y)=d(A,B)又又A为闭集，从而为闭集，从而x∈∈A ，并可得，并可得{yni}有界有界因为当因为当ni充分大时，充分大时， d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件定理：设定理：设定理：设定理：设F F1 1，，，， F F2 2为为为为R Rn n中两个互不相交的非空闭集，则中两个互不相交的非空闭集，则中两个互不相交的非空闭集，则中两个互不相交的非空闭集，则存在存在存在存在R Rn n 上的连续函数上的连续函数上的连续函数上的连续函数f(x) f(x) ，使得，使得，使得，使得 （（（（1 1））））0≤ f(x)≤ 10≤ f(x)≤ 1，，，， x x∈∈∈∈ R Rn n（（（（2 2）））） f(x)=0 f(x)=0，，，， x x∈∈∈∈ F F1 1; f(x)=1, x; f(x)=1, x∈∈∈∈ F F2 2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.F2F1《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件思 考ØØ两个闭集两个闭集两个闭集两个闭集 不相交，下面的结论一定成不相交，下面的结论一定成不相交，下面的结论一定成不相交，下面的结论一定成立吗？立吗？立吗？立吗？ØØ上面条件换成有界闭集呢？上面条件换成有界闭集呢？上面条件换成有界闭集呢？上面条件换成有界闭集呢？《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件6.R6.R中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论⑴⑴⑴⑴Bolzano-WeierstrassBolzano-Weierstrass定理：定理：定理：定理： 若若若若E E是是是是R Rn n中的一个中的一个中的一个中的一个有界的无限集有界的无限集有界的无限集有界的无限集，则，则，则，则E E至少有一至少有一至少有一至少有一个个个个聚点聚点聚点聚点. .l注：对注：对无限维空间无限维空间不一定成立。

不一定成立《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件⑵⑵⑵⑵ Heine-Borel Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理有限覆盖定理有限覆盖定理 设设设设F F为为为为R Rn n 中的有界闭集，若开集簇中的有界闭集，若开集簇中的有界闭集，若开集簇中的有界闭集，若开集簇 覆覆覆覆盖盖盖盖F F，，，， 即即即即 ，，，， 则则则则 中存在中存在中存在中存在有限个有限个有限个有限个开集开集开集开集U U1 1 ，，，，U U2 2，，，， … ,U … ,Un n，它同样覆盖，它同样覆盖，它同样覆盖，它同样覆盖F F注：比较下面几种不同的证法注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数周民强，实变函数 p-362.尤承业，基础拓扑学尤承业，基础拓扑学 p-523.熊金城，点集拓扑讲义熊金城，点集拓扑讲义 p-2024.教材教材 p-42注：注： Heine-BorelHeine-Borel有限覆盖定理的有限覆盖定理的有限覆盖定理的有限覆盖定理的逆命题也成立逆命题也成立《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件定义定义 （紧集）（紧集）ØØ设设设设MM是度量空间是度量空间是度量空间是度量空间X X中的一集合，中的一集合，中的一集合，中的一集合， 是是是是X X中中中中任一族覆盖了任一族覆盖了任一族覆盖了任一族覆盖了MM的开集，如果可从中选出有限个的开集，如果可从中选出有限个的开集，如果可从中选出有限个的开集，如果可从中选出有限个开集开集开集开集U U1 1 ，，，，U U2 2，，，， … ,U … ,Un n仍然覆盖仍然覆盖仍然覆盖仍然覆盖MM，则称，则称，则称，则称MM是是是是X X中中中中的紧集的紧集的紧集的紧集结论：结论： 中紧集与有界中紧集与有界闭集等价等价《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件但在一般的度量空间中，紧集必为有但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集界闭集，而有界闭集不一定为紧集ØØ定理：定理： 设设M是度量空间是度量空间 中的紧集，则中的紧集，则M是是X中的有界闭集中的有界闭集l举例说明有界闭集未必是紧集（教材举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例例2））《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件可数覆盖定理可数覆盖定理可数覆盖定理可数覆盖定理设设设设F F为为为为R Rn n中一中一中一中一 集合，若开集簇集合，若开集簇集合，若开集簇集合，若开集簇 覆盖覆盖覆盖覆盖F F（（（（ 即即即即 ），），），）， 则则则则 中存在中存在中存在中存在可数个可数个可数个可数个开集开集开集开集U U1 1 ，，，，U U2 2，，，， … ,U … ,Un n ，，，，… … ，它同样覆盖，它同样覆盖，它同样覆盖，它同样覆盖F F提示：利用空间中以提示：利用空间中以有理点有理点为为中心中心，，正有理数正有理数为为半径半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在点全体在Rn中中稠密稠密和有理数全体是和有理数全体是R的的稠密稠密集集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件7 自密集和完备集的定义自密集和完备集的定义ØØ自密集自密集自密集自密集：设：设：设：设 ，如果，如果，如果，如果 ，则称，则称，则称，则称E E 为自密集，也即集合中每点都是这个集为自密集，也即集合中每点都是这个集为自密集，也即集合中每点都是这个集为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密合的聚点，或没有孤立点的集合为自密合的聚点，或没有孤立点的集合为自密合的聚点，或没有孤立点的集合为自密集。

集 例：有理数集例：有理数集例：有理数集例：有理数集为自密集为自密集为自密集为自密集ØØ完备集完备集完备集完备集：设：设：设：设 ，如果，如果，如果，如果 ，则称，则称，则称，则称 E E为完备集为完备集为完备集为完备集 例：任何闭区间及全直线都为完备集例：任何闭区间及全直线都为完备集例：任何闭区间及全直线都为完备集例：任何闭区间及全直线都为完备集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件第四节第四节 直线上的直线上的 开集开集,闭集闭集,完备集的构造完备集的构造第二章第二章 点集点集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件7. 直线上的开集构造直线上的开集构造ØØ定义（构成区间）定义（构成区间）定义（构成区间）定义（构成区间） 设设设设GG为直线上的开集，如果开区间为直线上的开集，如果开区间为直线上的开集，如果开区间为直线上的开集，如果开区间而且端点而且端点而且端点而且端点 不属于不属于不属于不属于GG，则称，则称，则称，则称 为为为为GG的的的的构成区间。

构成区间构成区间构成区间例如：例如： ( ) ( ( ) ) a b c c’ d’ d (a,b),(c,d)为构成区间（c’,d’）不是《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件ØØ定理：直线上的任一非空定理：直线上的任一非空定理：直线上的任一非空定理：直线上的任一非空开集开集开集开集都可唯一地表示成都可唯一地表示成都可唯一地表示成都可唯一地表示成有有有有限个或可数个限个或可数个限个或可数个限个或可数个互不相交互不相交互不相交互不相交的的的的构成区间构成区间构成区间构成区间的并，又当非空的并，又当非空的并，又当非空的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间必是构成区间必是构成区间必是构成区间( ) ( )( ) ( ) (⑴⑴直线上的直线上的闭集闭集或是全直线，或是从直线上或是全直线，或是从直线上挖去挖去有限个或有限个或可数个互不相交的可数个互不相交的开区间开区间所得之集所得之集.开开 集集 构构 造造 性性 定定 理理《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件⑵⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点间的公共端点;（（4））Rn中的中的开集开集一般不能表示成至一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相但总可表示成至多可数个互不相交的交的半开半闭区间半开半闭区间之并，且不唯一之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (ØØ（（3 3）（完备集的构造定理）直线上的完备集）（完备集的构造定理）直线上的完备集）（完备集的构造定理）直线上的完备集）（完备集的构造定理）直线上的完备集F F或是全或是全或是全或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合有公共端点的开区间而得到的集合有公共端点的开区间而得到的集合有公共端点的开区间而得到的集合《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件8.Cantor8.Cantor集集第第n n次次去掉的开区间去掉的开区间留下的闭区间留下的闭区间1 12 2n n⑴定义：令称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件⑵⑵CantorCantor集的性质集的性质a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件c c. P. P没有内点没有内点没有内点没有内点( )x-ε x x+ε第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。

证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件d. d. P P中的点全为聚点中的点全为聚点中的点全为聚点中的点全为聚点, ,从而没有孤立点从而没有孤立点从而没有孤立点从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点 证明：对任意x ∈ P ， 只要证： 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间( )x-δ x x+δ《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件数的进位制简介数的进位制简介ØØ十进制小数 相应于 对[0,1]十等分ØØ二进制小数 相应于 对[0,1]二等分ØØ三进制小数 相应于 对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999… （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件e. e. P P的势为的势为的势为的势为 （利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000… = 0.0222222… （三进制小数）0.2000000… = 0.1222222…《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件f.康托集康托集P为完备集为完备集（由完备集的构造性定理可得）（由完备集的构造性定理可得）《《E E的接触点》的接触点》PPTPPT课件课件。