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45第四章第四章 塑性位势理论塑性位势理论位势理论作为一种力学方法在弹性力学和塑性力学中都得到了广泛应用米赛斯于 1928 年借用弹性势函数作为塑性势函数，并提出了按照塑性势函数的梯度方向确定塑性流动方向 的传统塑性位势理论后来又由德鲁克塑性公设，表明塑性势函数与屈服函数是一致的，从 而形成了塑性应变增量方向必定正交于屈服面的关联流动法则，完善了传统塑性位势理论 传统塑性位势理论不适应岩土材料的变形机制，因而基于传统塑性位势理论而建立的岩土本 构模型，不能反映岩土的实际变形双屈服面模型与多重屈服面模型的出现实质上已经扩展 了塑性位势理论作者在研究多重屈服面弹塑性理论时，提出建立岩土本构模型应采用三个 塑性势面和三个屈服面，并建立了以三个主应力作为塑性势函数的岩土本构模型此后，杨 光华用张量定律从理论上导出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式作者在剖析传统 塑性位势理论的基础上，提出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式，可作为不考虑应 力主轴旋转时的广义塑性位势理论并从基本力学概念出发，指出屈服函数与势函数必须相 应，而不要求相等，相等只适用于金属情况郑颖人等又进一步发展建立了考虑应力主轴旋 转情况下的广义塑性位势理论。

§4.1 德鲁克德鲁克(Drucker)塑性公设与伊留辛塑性公设与伊留辛(Ильющин)塑性公设塑性公设一、一、稳定与不稳定材料稳定与不稳定材料下图 示出两类试验曲线在图 a 中，当 > 0 时， >0,这时附加应力 对附加应变 做功为非负，即有  > 0这种材料被德鲁克(Drucker)称为稳定材料显然，应变硬化和 理想塑性的材料属于稳定材料在图 b 所示的试验曲线上，当应力点超过 p 点以后，附加应 力 0，故附加应力对附加应变做负功，即  0，C 0；屈服面与塑性势面反向，则 dk < 0岩土材料的体积屈服面既可与 塑性势面同向(体缩)，也可与塑性势面反向(体胀)而传统塑性力学中只有一个塑性势面和一 个与塑性势面同向的屈服面，因而一定大于零或等于零 式 4.4.1 中三个塑性势函数是可任选的，但必须保持线性无关，最符合这一条件并应用 最方便的，是选用主应力空间中的三个坐标轴作塑性势函数，如选1、2、3或 p、q、 等应力不变量为势函数这种情况下构造屈服函数也最为方便这说明势函数可采用任何一 种形式的三个应力张量不变量 当取1、2、3的等值面为三个塑性势函数时，即有1 = Q1，2 = Q2， 3 = Q3，则式 4.4.1 变为(4.4.5)ijijijp ijdddd3 32 21 1式中，d1、d2、d3分别为上述三个塑性位势面的塑性因子，将1 = Q1，2 = Q2， 3 = Q3 代入式 4.4.5 或按其物理意义均能得到(4.4.6)   pppdddddd332211可见 dk有着明确的物理意义。

如果取 p、q、 为塑性势函数，有(4.4.7)ijijijp ijdqdpdd 321同理有(4.4.8)   pp qp vdddddd321式中 ——塑性体应变增量(图)；p vd——q 方向上的塑性剪应变增量(图)；p qd—— 方向上的塑性剪应变增量(图)pd图图 塑性应变增量分解塑性应变增量分解58塑性应变增量可分解为塑性体应变增量与塑性剪应变增量(4.4.9)塑性剪应变增量可分为 q 方向上的塑性剪应变增量和 方向上的塑性剪应变增量p qdpd(4.4.10)从实际情况来看，无论是岩土或金属材料，一般不大，如果再假定在中忽略pdp qd的影响，就相当于忽略了洛德角的影响，即有(4.4.11)ijp q ijp v ijijp ijqdpdqdpdd21这就是国内常用的“南水”双屈服面模型 对于金属材料，＝0，因而式 4.4.11 变为单屈服面模型，即有 Q = Q2 = q，此时，在p vd子午平面上塑性应变增量方向在 q 方向上。

二、二、塑性势面与屈服面的关系塑性势面是用来确定塑性应变增量方向的，而屈服面是用来确定塑性应变增量大小的， 亦即确定 d1、d2、d3一个确定矢量的方向，另一个确定矢量的大小，可见两者必然关 联在传统塑性力学中，假定屈服面与塑性势面相同，这对金属材料是适用的，而对岩土材 料不适用广义塑性力学需要从固体力学的基本概念与基本原理出发，建立塑性势面与屈服 面之间的联系从固体力学基本概念出发，屈服面必须与塑性势面相应，塑性势面的法线方 向也就是给定的塑性应变增量方向，即塑性应变增量的三个分量方向，如、p vd、那么按屈服面定义，与三个塑性势面相应的屈服面必须分列具有三个硬化参量p qdpd、、，亦即三个屈服面分别为、、的等值面由此可见，屈服面不是任取p vp qp p vp qp 的，它们是应力与塑性势面相应的硬化参量的函数，如体积屈服面必为 fv(ij,)或 fv(ij, H(p v))同理，q 方向与q 方向的剪切屈服面必为 fq(ij,H())和 fq(ij, H())所以，屈服面p vp qp 必须与塑性势面相对应的关系是依据力学基本原理得出的，而不是人为假设，它们不要求塑 性势面与屈服面相同。

对于金属材料塑性势面与屈服面不仅相对应，而且相同，这是一种特 例 由式 4.4.6 可知，要确定 d1、d2、d3，先要确定三个塑性应变的等值面，即确定与p i三个塑性势面 Q1、Q2、Q3相应的三个屈服面 在等向强化模型情况下，如果塑性应变总量与应力存在唯一性关系，则三个主应变屈服 面可写成如下形式：= fi(1, 2, 3)(4.4.12)p i将上式微分，即得相应的塑性应变增量(4.4.13))3 , 2 , 1(3 32 21 1idfdfdfdiiip i59由于 di = ，即可求得塑性因子p id同理要确定式 4.4.8 中的 d1、d2、d3，要分别采用、、等值面，即有p vp qp (4.4.14)   ),,(),,(),,(qpfqpfqpfpqp qvp v式 4.4.14 中的第一个式子是体积屈服面，一般可略去 对的影响；第二个式子是p v剪切屈服面；第三个屈服面是剪切屈服面，通常 p 对的影响也可以略去式 4.4.14p qp p 变为(4.4.15)   ),(),,(),(qfqpfqpfpqp qvp v微分式 4.4.15，即得(4.4.16)   dfdfddfdfdppfddfdppfdpqp qvvp v由上看出，塑性势面与屈服面存在如下关系： (1) 塑性势面可以任取，但必须保证各势面间线性无关，屈服面则不可任取，它必须与 塑性势面相对应，并有明确的物理意义。

例如取1为势面，则对应的屈服面必为塑性主应变 的等值面可见，屈服面必然与塑性势面相关联，但关联并不意味着塑性势面与屈服面相p 1 同，而是必须保持屈服面与塑性势面相对应在特殊情况下亦可相同，如服从米赛斯屈服条 件的金属材料，屈服面与塑性势面同为圆筒形 (2) 取1、2、3或 p、q、 为塑性势面，相应的屈服面最简单，并具有明确的物理意 义，即为三个塑性主应变的等值面或为塑性体应变、q 方向塑性剪切应变与 方向塑性剪应 变的等值面 (3) 由于三个塑性势面线性无关，则相应的三个屈服面也必然互相独立例如，体积屈 服面与 q 方向上及 方向上的剪切屈服面都各自独立这表明体积屈服面只能用来计算塑性 体积变形，而与塑性剪切变形无关，反之亦然因而广义塑性力学中不能应用关联流动法则， 否则就违反了剪切屈服面与体积屈服面原有的含义§4.5 广义塑性力学的基本特征广义塑性力学的基本特征上节所述不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论及后述考虑应力主轴旋转的广义塑性位 势理论，反映了广义塑性力学的一些基本特征，可概括如下： 1、塑性应变增量分量不成比例 传统塑性力学假设塑性应变增量互成比例，而广义塑性力学塑性应变增量分量不成比例。

由于传统塑性力学中塑性应变增量互成比例，因而可只用一个塑性势函数，它表示塑性应变 增量总量的方向不管应力增量如何，一旦应力确定，塑性势函数与塑性应变增量方向也就 确定所以传统塑性力学中，塑性应变增量的方向与应力具有唯一性而与应力增量无关 广义塑性力学不具上述特点，它基于塑性分量理论当不计应力主轴旋转时，它需要采60用三个线性无关的势函数来表述塑性应变增量分量(亦即应力增量)的方向；当考虑应力主轴 旋转时，它需要采用六个线性无关的势函数来表述塑性应变增量分量的方向塑性应变增量 的方向不仅取决于屈服面与应力状态，还与应力增量的方向与大小有关 2、塑性势面与屈服面相应 传统塑性力学给出一个塑性势面和一个屈服面，它们不仅要求两者相应而且相同，即服 从关联流动法则广义塑性力学给出三个(或六个)塑性势面与屈服面，它们要求塑性势面与 屈服面相应，但不要求相同，相同只是一种特例因而它们既可适用于岩土，也可适用于金 属对于岩土，广义塑性力学采用非关联流动法则，而这种非关联流动法则与当前应用的非 关联流动法则不同，当前应用的非关联流动法则常是一个屈服面可允许对应任意假设的塑性 势面，而广义塑性力学中只允许一个屈服面对应一个唯一的势面。

3、允许应力主轴旋转 传统塑性力学不考虑应力主轴的旋转，无法计算由应力主轴旋转所产生的塑性变形在 实际岩土工程中，应力主轴会发生旋转，尤其是动力问题，会由于应力主轴旋转而产生不容 忽视的塑性变形 4、解具有唯一性 由于广义塑性力学基于固体力学原理导出，因而与实际吻合它能考虑应力路径转折的 影响，能考虑应力主轴的旋转，也不会出现过大的剪胀，因而具有科学性如果依据试验获 得客观的屈服条件，那么它的解具有唯一性然而，当前的岩土塑性力学，由于理论上的混 乱，加上选定屈服条件的任意性，其解不是唯一的，各种模型计算结果差异较大，而且有许 多模型出现定性的错误 应当指出，广义塑性力学还不能充分反映应力路径的影响，这是因为当前采用的屈服条 件只写成应力水平与应力历史的函数，而实际上屈服条件还与应力增量有关，正是由于屈服 条件的不完善，造成了广义塑性力学不能充分完善地反映应力路径的影响§4.6 考虑弹塑性耦合的正交流动法则考虑弹塑性耦合的正交流动法则殷有泉等人在传统塑性力学基础上，考虑了弹塑性耦合影响，提出了考虑弹塑性耦合的 正交流动法则，本节予以介绍 考虑弹塑性耦合的流动法则是认为屈服过程中应变增量的不可逆部分(指塑性应变增量与 弹塑性耦合引起的应变增量之和)与应力空间的屈服面正交。

应变增量 d 看作是可逆部分 dR和不可逆部分 d I组成，而 d I部分由塑性部分 d p和耦合部分 dC组成，即d = dR +dI = dR +d p +dC(4.6.1)dR = [De]-1d(4.6.2) 下图中画出了各应变增量在一维情况下的含义为表达方便，相应地定义不可逆应力增 量d I = [De]-1d I(4.6.3) 由式 4.6.1 和式 4.6.2d I = [De]d - d(4.6.4) 在弹塑性耦合情况下，[De]和[De]-1为硬化参量 H 的函数，耦合应变增量是因为屈服导 致弹性模量变化而引起的 。