广东省江门市2013届高二下学期期末考试(理数).doc

秘密★启用前 江门市2012年普通高中高二调研测试数 学（理科）本试卷共21题，满分150分，测试用时120分钟．不能使用计算器．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．方差公式．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限⒉等差数列的前项和记为，若，则使得最大的序号A． B． C． D．图1⒊如图1，空间四边形中，点在上，且，点为的中点若，，，则A． B．C． D．⒋若，，则角的终边所在的直线是A． B． C． D． ⒌设、是两个不同的平面，是一条直线，以下命题中，正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则⒍已知离散型随机变量的的分布列如右表，则A． B． C． D．否是开始输入图2输出结束整除？⒎阅读图2的程序框图，若输入，则输出A． B． C． D．⒏将正偶数按下表排列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826………………则2012所在的位置是A．第252行第3列 B．第252行第4列C．第251行第3列 D．第251行第4列二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）⒐在等比数列中，，，则．⒑对于曲线：，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆； ②当时，曲线表示椭圆；③若曲线表示双曲线，则或；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则．其中所有正确命题的序号为__ _　__ ．⒒若，，．⒓已知命题：，．它的否定：． ⒔已知、满足，且的最小值为，则常数．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）⒕的展开式中，的系数是_ _　__ （用数字表示）．⒖曲线，，围成的图形的面积（用数字表示）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知函数，．⑴求的值；⑵求函数的单调递增区间．⒘（本小题满分13分）图3如图3，正方体的棱长为，、分别是、的中点．⑴求多面体的体积；⑵求与平面所成角的余弦值．⒙（本小题满分13分）已知某同学上学途中必须经过三个交通岗，且在每一个交通岗遇到红灯的概率均为，假设他在3个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，用随机变量表示该同学上学途中遇到红灯的次数．⑴求该同学在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯的概率；⑵若，则该同学就迟到，求该同学不迟到的概率；⑶随机变量的数学期望和方差．⒚（本小题满分14分）设（）是直线：上的点列，其中是与轴的交点．⑴求，⑵用数学归纳法证明：对于一切正整数，；⑶记直线与直线、、轴围成的梯形的面积为（），试求数列的前项和．⒛（本小题满分14分）已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆：（）的右顶点和上顶点．⑴求椭圆的方程；⑵记过点的两条切线中经过第二象限的为，是椭圆上任意一点，到直线为的距离为，求的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数．⑴证明：当时，；⑵若函数（是常数）在区间上有零点，求的取值范围．评分参考一、选择题 BCDD CABA二、填空题⒐9 ⒑③④（只填1个正确的给3分；若填有错误的，则为0分）⒒0.1587 ⒓，（全写成不扣分；写成给3分）⒔ ⒕1120 ⒖1三、解答题⒗⑴……1分，……3分，……5分⑵……7分，……9分，解不等式……10分，得()……11分，所以的单调递增区间为（）……12分（是否包含区间端点不扣分；写一次即可）⒘⑴……1分，……2分，……3分，所以，多面体的体积……4分⑵以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……5分，则，，，……6分，设平面的一个法向量为，则……8分，即……9分，取，则……10分，……11分，……12分，与平面所成角的余弦值……13分。

⒙⑴用事件表示该同学在第个交通岗遇到红灯，事件表示“在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯”……1分，则，且事件两两相互独立……2分，所以……4分⑵因为该同学经过三个交通岗时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即……6分，所以该学生不迟到的概率为：……9分(或……9分)⑶，所以的数学期望……10分，方差……12分答（略）……13分（这是全部三个小问的答，共1分；若每问求得的结果都有文字说明，则没有这个“答”也不扣分这1分记在第⑶小问）⒚⑴依题意，……1分，……2分⑵时，由得，命题成立……3分，假设当时命题成立，即……4分，因为在直线上，所以……6分，，所以，当时命题成立……7分综上所述，对于一切正整数，……8分⑶（方法一）依题意……10分，……11分，……13分，……14分方法二）依题意，是直线与直线、、轴围成的梯形的面积……10分，……12分，……14分⒛⑴观察知，是圆的一条切线，切点为……1分，根据圆的切线性质，……2分，所以……3分，所以直线的方程为……4分直线与轴相交于，依题意，……5分，所求椭圆的方程为……6分⑵设：，即，解……7分，得……8分，在椭圆外，若到直线的距离取最大（小）值，则经过且与平行的直线与椭圆相切，设：……9分，由得……10分，由解得……11分，所以：，：……12分，与之间的距离……13分，所求的取值范围为……14分．（第⑴问学生正确求出方程既给满分，若用到第⑵问评分的知识方法，在不重复给分前提下相应给分；第⑵问若学生用参数方程求解，可参考上述评分给分）21.⑴设（其中）……1分，……2分，，在区间单调减小……3分，所以，即，因为，，所以……4分⑵依题意，……5分设（其中，），，在上单调递增……6分，在上有零点当且仅当，解得……7分设（其中，），，解得……8分当时，，，在上单调递减……9分，在上有零点当且仅当或，解得与不符……10分同理，当时，在上无零点……11分当时，，在上单调递减，在上单调递增……12分，在上有零点当且仅当或，解得……13分综上所述，的取值范围为……14分高二数学（理科）试题　第 8 页 共 8 页。