二次函数中根的分布问题.doc

一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在两根有且仅有一根在（图象有两种情况，只画了一种）一根在，另一根在，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）——————根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是（1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间，从而可以求出参数的值。

如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数如方程有且一根在区间，求的取值范围分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围解：由 即 ，从而得即为所求的范围例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围解：由或即为所求的范围例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围解：由 即 即为所求的范围例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则即为所求范围注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）. v。