高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆2练习 新人教A版选修11.doc

2.1 椭圆（2）A级　基础巩固一、选择题1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　D　)A．4　　 B．5　　 C．7　　 D．8[解析]　由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(　A　)A． B．C． D．[解析]　由题意，得a＝2c，∴e＝＝.3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(　B　)A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1[解析]　椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)，∵b＝2，∴a2＝25，故选B．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为(　A　)A． B．C． D．[解析]　设椭圆的焦距为2c，短轴长为2b，长轴长为2a，由题意得(2b)2＝4ac，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.∵e∈(0,1)，∴e＝.5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　A　)A． B．C．2 D．4[解析]　由题意＋x2＝1，且＝2，∴m＝.故选A．6．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)A． B．C． D．[解析]　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为　＋＝1或＋＝1　.[解析]　∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.又两个焦点将长轴三等分，∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.∵焦点位置不确定，∴方程为＋＝1或＋＝1.8．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　3或　.[解析]　当焦点在x轴上时，e＝＝，∴m＝3.当焦点在y轴上时，e＝＝，∴m＝.三、解答题9．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直.(1)求椭圆的离心率；(2)求△PF1F2的面积．[解析]　(1)由题意可知a2＝49，b2＝24，∴a＝7，b＝2，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝.(2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，∴|PF1||PF2|＝48.∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.B级　素养提升一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　C　)A．＋＝1或＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝1或＋＝1[解析]　由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　C　)A．＋＝1 B．＋y2＝1C．＋＝1 D．＋＝1[解析]　根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.3．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为(　D　)A．1 B．C．2 D．2[解析]　由，得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，∴椭圆的长轴长为2.4．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　C　)A．1 B．1或2C．2 D．0[解析]　因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．5．(2015·江西八校联考)已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　B　)A． B．C． D．[解析]　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需⇒0<≤.即椭圆离心率的取值范围是.二、填空题6．若椭圆的一个焦点将其长轴分成︰两段，则椭圆的离心率为　5－2　.[解析]　椭圆的一个焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，∴＝，∴(－)a＝(＋)c，∴e＝＝5－2.7．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__(0,1]∪[9，＋∞)__.[解析]　方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan 120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0<≤，结合03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．三、解答题8．(2017·北京文，19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，直线BN的方程为y＝(x－2)．联立解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.C级　能力提高1．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为　　.[解析]　如图，由已知得b＝c＝a，∴e＝＝.2．(2017·全国Ⅱ文，20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解析]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝ ，得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375。