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华师版初中数学教案及随堂练习全)第十四章尤新教育学校 第十四章：勾股定理 §14.1勾股定理 一． 知识点： 1. 对于任意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a＋b＝c，这种关系我们称为勾股定理．〔我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦〕 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理提醒了直角三角形三边之间的关系． 2. 直角三角形的断定：假如三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形 222222二．学习过程： 1．按教材的思路讲解，带着同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点 2. 和学生一起完成课后习题 3. 讲下关于勾股定理的史话 三．例题及习题： 教材中的题目 §14.2 勾股定理的应用 一． 知识点： 1. 可以用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题 二．学习过程： 1．按教材的思路讲解，带着同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点 2. 和学生一起完成课后习题 三．例题及习题： 教材中的题目 勾股定理经典例题 1．勾股定理是把形的特征〔三角形中有一个角是直角〕，转化为数量关系〔a2＋b2=c2〕，不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高〔或垂线段〕等辅助线构造直角三角形. 2．勾股定理的逆定理是把数的特征〔a2＋b2=c2〕转化为形的特征〔三角形中的 1 尤新教育学校 一个角是直角〕，可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件. △ABC中 ∠C＝Rt∠?a2＋b2=c2 3．为了计算方便，要熟记几组勾股数： ①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17； ⑤9、40、41. 4．勾股定理的逆定理是直角三角形的断定方法之一. 一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的互相关系而断定直角，从而断定直角三角形，而勾股定理那么是通过边的计算的断定直角三角形和断定直角的. 利用它可以断定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： 〔1〕确定最大边； 〔2〕算出最大边的平方，另外两边的平方和； 〔3〕比拟最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，假设相等，那么说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式 ① 罗士琳法那么〔罗士琳是我国清代的数学家1789――1853〕 任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。

k2?1k2?1② 假如k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数 22?K-K?③ 假如k是大于2的偶数，那么k, -?1,-?1是一组勾股数 ?2-2?④ 假如a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数 典型例题分析^p 例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+S2+S3+S4=____ 22 根据这个图形的根本构造，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d 那么有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4 2 尤新教育学校 例2 线段a，求作线段5a 分析^p 一：5a＝5a2＝4a2?a2 ∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边 分析^p 二：5a＝9a?4a2 ∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边 作图〔略〕 例3 如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，那么这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。

(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，那么这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？ (3)假如将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影局部的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影局部在数学史上称为“希波克拉底月牙) 分析^p ： (1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关 2 所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3 (2)类似于(1)：S1+S2=S3 (3)图中阴影局部的面积是S1+S2+S△ABC-S3 ∴S阴影=S△ABC 例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设所有的正方形的面积之2和为507cm，试求最大的正方形的边长 分析^p ：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴 从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2) 3 尤新教育学校 ∴最大的正方形的边长为13cm 例5 图(7)中，假设大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下列图形的面积为原正方形面积的5/9 (3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b， 那么 将正方形EFGH的边长三等分，使 顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的 ，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。

二、要学会用方程观点解题 例6. ：如图7，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，假设将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长 分析^p ：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF 由，可得，因此欲求EF，只要求AF的长 设AF=x，那么FC=x，BF=4-x 只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程 x2-(4-x)2=9，问题就可以解决 例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，假设a，b，c为连续整数(a0， ∴只有x=4 4 尤新教育学校 ∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12 例8. ：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积 分析^p ：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD 假设设BD=x，那么DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值 问题就能解决 例9 细心观察图，认真分析^p 各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA10的长； (3)求出的值。

答案 (1) 例10.如图△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD,求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 那么c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AAD2＝c2-m2=b2-n2 bc∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) CB　mDn(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC 例11 .：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝2b,且SEFGH＝ 求：b?a的值 3 5 第 8 页 共 8 页。