4—4.3 直线的参数方程.doc

4—4.3 直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．2. 会运用直线的参数方程解决有关问题要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1. 直线参数方程的标准形式：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式2. 参数的几何意义：参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离当点在上方时，；当点在下方时，；当点与重合时，；要点注释：若直线的倾角时，直线的参数方程为.要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是(t为参数) 在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义若a2+b2=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为(1) 当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量. (2) 当≠1时，则t不具有上述的几何意义. 可化为 令t¢=则可得到标准式 t¢的几何意义是有向线段的数量.要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是 （t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3) 线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜(4) 若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。

则A、B两点分别用参变量t1、t2表示 一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|，由韦达定理极为容易得出其值因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程 例1. （2016春 福州校级期中）直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）A． 20° B. 70° C. 110° D. 160°【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。

答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成，消去t，有，即，所以直线的倾斜角为160°．第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，所以直线的倾斜角为160°，选D．【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了举一反三：【变式1】 已知直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角．【答案】 关键是将已知的参数方程化为的形式若化成另一种形式，若2t为一个参数，则，在内无解；而化成时，则得． 故直线的倾斜角为．【变式2】求直线的斜率答案】 ∴【变式3】为锐角，直线的倾斜角（ 　　 ） A、 B、 C、 D、【答案】，相除得，∵，∴倾角为，选C 【变式4】 已知直线的参数方程为，的参数方程为．试判断与的位置关系． 【答案】 解法一：将直线化为普通方程，得y=2x+1，将化为普通方程，得． 因为，所以两直线垂直． 解法二：由参数方程可知的方向向量是a1=（2，4），的方向向量是a2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0， ∴． 即两条直线垂直．例2．设直线的参数方程为． （1）求直线的直角坐标方程； （2）化参数方程为标准形式．【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正． 【解析】（1）把代入y的表达式， 得， 化简得4x+3y－50=0． 所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0． （2）把方程变形为 ， 令u=－5t，则方程变为．记，，∴直线参数方程的标准形式是： 【总结升华】 已知直线的参数方程为（t为参数），由直线的参数方程的标准形式可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为再令，，由直线倾斜角的范围，使在[0，π）范围内取值，并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为（t为参数）．由上述过程可知，一般参数方程中的具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。

举一反三：【变式1】写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且求出直线上与点M0相距为2的点的坐标.【答案】直线的标准参数方程为 即（t为参数）（1） 设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t, 则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式 当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（－2－，3＋）； 当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（－2＋，3－）.【变式2】直线的参数方程能否化为标准形式？【答案】 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) 令t¢= 得到直线参数方程的标准形式 t¢的几何意义是有向线段的数量.【变式3】化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.【答案】令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=－ 设倾斜角为，tg=－,= , cos =－, sin= 的参数方程为 （t为参数） t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由 (1)、(2)两式平方相加,得 ∣t∣＝∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长. 类型二、直线的标准参数方程的初步应用例3． 设直线过点A（2，－4），倾斜角为． （1）求的参数方程； （2）设直线，与的交点为B，求点B与点A的距离．【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.【解析】（1）直线的参数方程为， 即（t为参数）． （2）如图所示，B点在上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离． 把的参数方程代入的方程中， 得，∴，∴． 由t为正值，知．【总结升华】（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式．而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程．（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点．举一反三：【变式1】已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。

答案】 将代入得，则，而，得【变式2】已知直线l1过点P(2，0)，斜率为．(1)求直线l1的参数方程；(2)若直线l2的方程为x＋y＋5＝0，且满足l1∩l2＝Q，求|PQ|的值．【答案】(1) 设直线的倾斜角为a，由题意知tan a＝，所以sin a＝，cos a＝，故l1的参数方程为(t为参数)．(2)将代入l2的方程得：2＋t＋t＋5＝0，解得t＝－5，即Q(－1，－4)，所以|PQ|＝5．【变式3】求点A（−1，−2）关于直线l：2x −3y +1 =0的对称点A' 的坐标答案】由条件，设直线AA' 的参数方程为 (t是参数)，∵A到直线l的距离d = ， ∴ t = AA' = ，代入直线的参数方程得A' (− ，)变式4】 已知直线过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线的方程． 【答案】设直线的倾斜角为， 则它的参数方程为（t为参数）． 由A、B分别是x轴、y轴上的点知yA=0，xB=0， ∴0=2+t sin，即； 0=3+t cos，即． 故．∵90°＜＜180°，∴当2=270°，即=135°时，|PA|·|PB|有最小值． ∴直线方程为（t为参数）， 化为普通方程为x+y－5=0．类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用例4. 经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点． （1）求弦BC的长； （2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC的方程； （4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程． 【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算． 【解析】取AP=t为参数（P为上的动点）， 则的参数方程为， 代入x2+y2=25，整理得 ． ∵Δ=9(2cos+sin)2+55＞0恒成立． ∴方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos+sin），． （1）． （2）∵A为BC中点，∴t1+t2=0， 即2cos+sin=0，∴tan=－2．． 故直线BC的方程为， 即4x+2y+15=0． （3）∵， ∴(2cos+sin)2=1，∴cos=0或． ∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0． （4）∵BC的中点M对应的参数是， ∴点M的轨迹方程为 ，∴．∴． 即点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题。