高数课件ZJD62无界函数的反常积分.ppt

二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第二节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界函数的反常积分 第六六章 一、无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.1 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解下述解法是否正确: , ∴积分收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 讨论反常积分的敛散性 . 解解:所以反常积分发散 .例例3. 证明反常积分证证: 当 q = 1 时,当 q < 1 时收敛 ; q≥1 时发散 .当 q≠1 时所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.解解：求的无穷间断点, 故 I 为反常积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来 . 定理2.1比较审敛法及其极限形式P281定理定理1. (柯西审敛法)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 ,有有利用有类似的审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .定理定理2. (极限审敛法)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例例5. 判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解解:由于 的敛根据极限审敛法 , 椭圆积分收敛 . 类似的, 有下列结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为绝对收敛 . 则反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6解解根据比较审敛原理根据比较审敛原理,的敛散性。

内容小结内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考 1. 1. 积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 2. 2. 判别积分判别积分 的敛散性的敛散性第五节 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题1 解答解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是 作业作业P285 A类: 4(1,3,5); 5(3); B类: 1(3); 3P287 8 。