第五章 近似方法一、概念与名词解释1. 斯塔克效应2. 跃迁概率3. 费米黄金规则4. 选择定则二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为ro,电荷均匀分布的小 球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 .2. 转动惯量为I，电矩为D的空间转子处在均匀电场 E中，如果电 场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正 .3. 转动惯量为I，电矩为D的平面转子处在均匀弱电场 E中，电场 处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正 .E0 a b4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 El a 0 b ,a、b是实数.b E02 a(1) 用微扰公式求能量至二级修正；(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解， 并与(1)的结果比较.E10 0 a5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 0 E10 b ，(E02 E10)* * E0a b E2(1) 用简并微扰方法求能量至二级修正；(2) 求能量的准确值，并与 (1)的结果比较 .6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-似2)的作用，计算基态能量的一级修正，其中常数(3>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a+与降算符a表示为Ho (a a 1/2)，此体系受到微扰I?' (a a)的作用，求体系的能级到二级近似.已知升与降算符对Ho的本征态|n>的作用为 a |n Jn l|n 1J; a n) Vn|n—1.9. 一个电荷为q的线谐振子受到恒定弱电场E i的作用，利用微扰 论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为 H=p2/2m+m忍x2/2+仅3. B是常数，若将H' x3看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为 H=(px2+Py2)/2卩+卩w(x2+y2)/2+ ?xy.若X<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数 .12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 H' axy bz2,求第一激发态的一级能量修正.13. 一维无限深势阱(00时起，附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场 £,求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为？/2,磁矩为？ g?的粒子处于如下弱旋转磁场中B B°cos( t)i Bos in (t)j Bk ,粒子与磁场的作用为-g?B.若粒子开始处于Sz= ?/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等 .28. 一个粒子在吸引势V(r)二-g2/r3/2中运动，试用类氢原子的波函数 作为尝试波函数，求基态能量.29. 以(r) exp(-cr2)为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其中 c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为I? p2/2 x4,以(x) . a/ exp(-a 2x2/2)为试探波函数，a为变分参数，求其基态能量.231. 取尝试波函数为Ce-ax , C为归一化常数，a是变分参数，试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数 C.32. 设粒子在中心力场 V(r)二-Ar n(n为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-町 为试探波函数，求其基态能量.进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐 振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.33. 试用①二exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f为变分参数，求势场为V(x)=g2(x2-1)2/2的基态能量，其中g是个很大的常数.三、证明1.在无简并的微扰论中，证明(0)nE(0)匚nE⑴匚n(0)n(1)\ n /E(0)E n⑴nW-E(1)1— n(1)、\ n /〈n爭 〈n爭 E(?)E⑴n2. 一维运动的体系，定义从|m＞态跃迁到|n＞态相应的振子强度为nm2m nm (nxm)|/ , m是粒子质量，求证:nm3. 设体系在t=0时处于基态|0＞，若长时间加上微扰V?(x, t) F(x)exp(-t/ ),证明该体系处于另一能量本征态|1＞的概率为(Ei-Eo)2~~亍四、综合题1. 一根长度为d质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒 的质量为M.在棒的两端分别有电荷+Q和-Q.(1)写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；⑵ 如果在转动平面内存在一电场强度为 E的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？⑶如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值 .2. 对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为 R的球对称势阱中，势场是V 0(r R).相应地，对发生微小形变的核，可以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是0 (在(x y )/b z /a(其他地方)1 内),其中 a探(1+2 卩3), b^R(1- 03)，且p＜＜1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核基态能量的变化•(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量 H=Ho+H'描述，其中H' = i兀A,H°]是一个 加在非微扰哈密顿量Ho上的微扰，A是个厄米算符，入是个实数. 设B是另一个厄米算子，而且 C=i[B,A].(1)已知A、B、C在无微扰(非简并)基态的平均值为o、o、o•当微扰加入时，求B在微扰后的基态上的平均值至 入的第一级； 3 p2 1⑵ 将这个结果用到如下三维问题上：Ho 匹 丄m 2x2 , H' X3.i i 2m 2计算Xi在基态的平均值(i=1,2,3)至入的最低阶，并将这个结果 和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中， 取平行板法线方向为z轴方向.电场沿z轴方向，可视为均匀电场.设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是 ⑴° t/(t o)(为常数).求时间充 oe-t/ (t o)分长后，氢原子跃迁到2s态和2p态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1)用量纲分析，推导本征值和参数(质量m、？、g)的关系;⑵用尝试波函数忙C qx+a) &a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算这里C、a是复数，(x)0 (x 0)1 (x 0)⑶为什么忙cqx+c)qa-x)不是一个好的尝试波函数?(4)如果要求第一激发态能量，你将如何处理？6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)=-洽口斤中运动，用变分法， 取尝试波函数©= e-ar,问入的临界值加等于多少时，能使得 e 无束缚态，> b有束缚态？7. 介子一般可看成夸克和反夸克(q可的束缚态.考虑S态介子，设夸 克质量为mq,束缚q和q的势U=A/叶Br , A<0 , B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的 ©= e-r/a作为尝试波函数，用变分 法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A = 0来简 化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果 (1)比较.。
