高斯定理在电磁学中的应用毕业论文.doc

intint第 1 页 ，共 20 页目录1 高斯定理的表述1.1 数学上的高斯公式1.2 静电场的高斯定理1.3 磁场的高斯定理2 高斯定理的证明方法2.1.1 静电场的高斯定理2.1.2 磁场的高斯定理2.2 高斯定理的直接证明2.3 高斯定理的另一种证明2.4 对称性原理及其在电磁学中的应用3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结(a) 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度åq(b) 注意 òE•dS =x中 E 和 dS 的矢量性s0(c) 正确理解定理中的 å qintåq(d) 不能只从数学的角度理解 òE • dS =xs0(e) 对高斯面的理解4 高斯定理的应用 ×4.1 利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2 利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5 将高斯定理推广到万有引力场中5.1 静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2 万有引力场中的引力场强度矢量5.3 万有引力场中的高斯定理6 结束语参考文献ç ÷ è ø ® ® ® ®d S第 2 页 ，共 20 页 高斯定理在电磁学中的应用摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦 电磁场理论中的一个重要方程。

本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方 法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时 的方便之处最后把高斯定理推广到万有引力场中去关键词：高斯定理，应用，万有引力场引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、 静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度虽然有时候应用高斯定理求 解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们 首先应对高斯定理有一定的了解1 高斯定理的表述1.1 数学上的高斯公式设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 所围成，若函数 P , Q , R 在V 上连续，且有一阶 连续函数偏导数，则òòòVæ¶P ¶Q ¶Rö+ + dxdydz = ¶x ¶y ¶zòòSPdydz +Qdzdx +Rdxdy1－1其中 S 的方向为外发向1－1 式称为高斯公式[1]1.2 静电场的高斯定理一半径为 r 的球面 S 包围一位于球心的点电荷 q ，在这个球面上，场强 E 的方向处处垂直于球 面 ， 且 E 的 大 小 相 等 , 都 是 E =q4pe0r2。

通 过 这 个 球 面 S 的 电 通 量 为fe=òòE×dS=òòs sq4pero2×dS =q4pero2òòsdS =q4pero2×4pr2=qeo其中òòdS是球面积分，等于 4pr 2 从此例中可以看出，通过球面 S 的电通量只与其中的电量 qS有关，与高斯面的半径 r无关若将球面S变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为qe0若闭合曲面S内是负电荷 -q® ®，则 E 的方向处处与面元 取相反，可计算穿过S面的电通n n ò ò òòå åòòE ×dS =E ×dS =E ×dS =s ss n ® ®® ®® ò òò ò® ®q ò òò ò第 3 页 ，共 20 页量为-q /e若电荷 -q 0在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零[2]如果闭合面S内有若干个电荷q , q , q ……q 1 2 3n，由场强叠加原理可知，通过S面的电通量为f =e® ® ® ® ® ®i ii -1 i -11eoåi -1qi此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的e0分之一，这就是真空中的高斯定理。

通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分的电荷，电荷体密度为 r ，则上式可以表述为f =eòòsE ×dS =1eoòVrdV1.3 磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理用式子表示：òòsB×dS =0与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别在静电场中，由于自然界中存在着 独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场[2]2 高斯定理的证明2.1 高斯定理的数学证明2.1.1 静电场的高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a) 点 电 荷 在 球 面 中 心 ， 点 电 荷 q 的 电 场 强 度 为E =14peoq ®× rr 3球 面 的 电 通 量 为® ® 1 q ® ® E ×dS = × r ×dS =4pe r 3s s o14pero2òòsdS =14pero2×4p×r2=qeo2－1(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面 S 的通量为òòs=E ×dS = òò4peo s1 q ® ® q 1 × r ×dS =4pe r 3 4pe r 3 s o o s1 1 1 xdydz + ydxdz + zdxdyr 3 r 3 r 3( xdydz +ydxdz +zdxdy )2－2ç ÷ è ø ® ®q q ò òê 3 ê 3 3 ú ú ø ® ®® ®1 ® ® ® ®® ®n ® ®i -1® ® n s ® ®n ® Id l® ® ®® ®d B B第 4 页 ，共 20 页根据高斯公式òòòVæ¶P ¶Q ¶Rö+ + dxdydz = ¶x ¶y ¶zòòS(Pdydz +Qdzdx +Rdxdy)2－3并考虑到P =x y z, Q = , R =r 3 r 3 r 3在S内有连续一阶偏导数，故 2－2 式可 2－2 式代入 2－3 式得òòs==E ×dS = òò4peo sòò4peo s1 q ® ®× r ×dS4pe r 3s o1( xdydz +ydxdz +zdxdy )r 31 1 1 xdydz + ydxdz + zdxdyr 3 r 3 r 3=q4peoòòòVé æx¶çèrê ¶xêëö æy÷ ¶çø èr+¶yö æz÷ ¶çø èr+¶zöù÷dxdydz =0úúû(c)点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面 S 荷 q 在闭曲面 S +S1内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 的电通量为零，即：S1，其法向朝内，根据 2－1 式可知点电òòE×dS+òòE×dS =0s sòòE×dS=-òòs s1E×dS =-òòs2E×dS =qeo2－4其中式 2－4 中 S 和 S 大小相等，法向相反。

1 2(d)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为q , q , q ……q 2 3n；闭曲面外的点电荷为q…… ；根据上述讨论可得 n +1òòE×dS=òòå s sEi×dS =åòòi -1E ×dS = i1eoåi -1qi这就是静电场中的高斯定理[3]2.1.2 磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)电流元 在球面中心由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律d B =mo4p×Id l ´rr 2o为了方便，把 简写为 ，则可® ®® ®® ® ， 所以r // d S® ®® Id l® ®® ®r =x i +y j +z k® ® ® ®® ®® ®òòç ÷ è ø ® ®® ®òò® Id lòò® ® ® ®òòB ×dS =-B ×dS =0® ®第 5 页 ，共 20 页得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为®因为。