第3章-镜像法ppt课件.ppt

第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 3.8.1 镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像 3.8.3 导体球面的镜像 3.8.4 导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像 3.8 镜像法1第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示非均匀感应面电荷等效电荷3.8.1 镜像法的基本原理2第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 接地导体球附近有一个点电荷，如图非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？q非均匀感应电荷q等效电荷3第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学2. 镜像法的原理3. 镜像法的理论基础 解的惟一性定理方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题4第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” ；4. 镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则等效求解的“有效场域”。

镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定5第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学3.5.2 接地导体平面的镜像1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题qzx =h由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直导体板，等位线平行导体板这是点电荷与导体板上的感应电荷共同作用的结果计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图6第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学显然可将感应电荷的作用用位于h的像电荷替代zxh-hRRO结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解qzx =h考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z0区域，原方程不变，且有P有效区域7第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学上半空间( z0 ）的电位函数q 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上总感应电荷等于镜像电荷！8第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：满足原问题的边界条件，所得的解正确。

电位函数原问题当z=0时，有效区域9第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 )对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ) 只有在(d1, d2 )处再设置一镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能得到满足电位函数qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d110第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学qd12d2160qd12d2175可得出什么结论？qd12d2112011第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学如果两导体平面不是相互垂直、而是相交成一定角度，只要 (n为整数)，就可以用镜像法求解，镜像电荷数为(2n-1) 当夹角为60的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图 由图可知，点电荷q共有5个像电荷6个电荷两两成对地分别构成两个平面（包括平面的延伸部分）的镜像关系，缺一不可q12第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 例3.8.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？ 解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。

可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功 由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷 替代当电荷q 移至 x时，像电荷q应位于x，则有x =0d-d13第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学3.8.3 导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d则有 如图所示，点电荷q 位于半径为a 的接地导体球外，距球心为d 方法：利用导体球面上电位为零确定 和q问题： PqarRdqPaqrRRdd14第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 令ra，由球面上电位为零，即 0，得此式应在整个球面上都成立条件：若像电荷的位置像电荷的电量qPaqaRRdd镜像电荷小于原电荷！15第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为16第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 用计算机模拟的，接地导体球旁有一个点电荷q时，空间的电位、电场分布图由图可知，点电荷q产生的电力线只有一部分终止在导体球上，另一部分延伸至无穷远。

所以17第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学该如何分析？18第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）aqdobqrRRaqdod19第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等 20第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内空间的电位、电场分布图 由图可知，点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应电荷感应电荷的总量不等于镜像电荷，也就是说，用镜像电荷替代感应电荷，只是作用上的等效21第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学该如何分析？q22第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学2 . 点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则 导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。

采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d PqarRdO23第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 应均匀分布在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即球外任意点的电位为qPaqrRRddqO24第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学采用叠加原理来确定镜像电荷qa a=+a aaqaqa+qPaqrRRddq25第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学点电荷对不接地空心导体球壳的镜像aqdobaqobPaqrRRddqPbr= - q26第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 用计算机模拟的，不接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内外空间的电位、电场分布图点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应电荷球的外表面有均匀分布的电荷，总量为q，球外空间的电位分布与均匀带电导体球相同球内空间的电位分布与接地空心导体球内的分布类似27第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学该如何分析？28第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学该如何分析？q29第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学3.8.4 导体圆柱面的镜像问题问题 ：如图 1 所示，一根电荷线密度为l 的无限长线电荷位于半径为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。

图图1 线电线电 荷与导导体圆圆柱图图2 线电线电 荷与导导体圆圆柱的镜镜像特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2所示1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像30第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即 所以有 设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数31第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学导体圆柱面外的电位函数：由 时，故导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上单位长度的感应电荷感应电荷与镜像电荷相等32第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学2. 两平行导体圆柱的电轴图图1 两平行导导体圆圆柱图图2 两平行导导体圆圆柱的电轴电轴特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。

分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图2所示问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 33第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学图图2 两平行导导体圆圆柱的电轴电轴 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法由 利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？34第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学偏芯同轴线轴线两不同半径平行导导体圆圆柱两不同半径导导体球能否用镜象法求解。