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第十二讲 计数原理 2一、 知识要点1、 排列：从 个不同元素中取出 个元素（ ）排成有序的一列，叫做从nmn个不同元素中取出 个元素的一个排列，从 个元素中取出 个元素（m）的所有排列的个数叫做从 个不同元素中取出 个有序元素的排列m数，记为 根据乘法原理mnA= （ ） （排列数公式）n121 n特殊地，当 时， = ，表示从 个不同元素中取mn123 n出 个元素排成一列所构成的排列数，这种 个元素全部取出的排列叫做 个n不同元素的全排列，我们将 记为 ，读作“ 的阶乘1 !“，则 !nA如，从 5 名同学中选出 3 名同学站成一排，共有 =60 种站法3453A2、组合：从 个不同元素中取出 个元素（ ）组成一组不计较组内各元mn素次序，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合，从 个不同元素中n n取出 个元素（ ）的所有组合的个数，叫做从从 个不同元素中取出 个m m元素的组合数，记作 mnC（ ） （组合公式） ，规定：!!121mnACmn  n，如：从 5 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，共有0n=10 种不同的选法。

123453P二、 典型例题除了十一讲中介绍的方法：先选后排，分类法，特殊元素（位置）用优先法，逆向考虑法，常见的方法还有：5、相邻问题用捆绑法：即将几个必须相邻的元素看作一个整体，视为一个元素；与其他元素进行排列，然后相邻元素内部在进行排列例 1、 5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？6、相离问题用插空法：元素相离（即不相邻）问题，可以先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中注意：（1）首要特点是不邻，其次是插孔法一般应用在排序问题中2）将要求不相邻元素插入排好元素时，要注意是否能够插入两端位置3)对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法“例 2、 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种方法？例 3、一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去 2 个新节目，有多少中安排方法？7、隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略，注意：一般用于组合问题中 例 4 （1）求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数（2）求方程 x+y+z=10 的非负整数解得个数。

（技巧一：添加球数用隔板法）（3）将 20 个相同的小球放入编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数， （技巧二：减少球数用隔板法）（4）为宣传党的十六大会议精神，一个文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？（技巧三：先后插入用隔板法）8、分排问题用直排法：例 5、9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？9、定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数例 6、五个排队甲在乙前面的排法有几种？10、查字典法例 7、由 1、2、3、4、5 可以组成多少个没有重复数字，并且比 13000 大的正整数？例 8、有 5 名男生、2 名女生站成一排照相（1） 两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2） 两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？（3） 两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4） 两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5） 女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6） 女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？例 9、从 7 名男生 5 名女生中，选出 5 人：（1）A、B 必须当选，有多少种不同的站法？（2）A、B 都不当选，有多少种不同的站法？（3）A、B 不全当选，有多少种不同的站法？（4）至少有两名女生当选，有多少种不同的站法？（5）选出 5 名同学，让他们分别担任体育委员，文娱委员，等 5 种不同的工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任，有多少种不同的站法？例 10、 从 1、3 、5、7 中任取 2 个数字，从 0、2、4、6、8 中任取 2 个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有多少个？例 11、从 6 名短跑远动员中选 4 人参加 4×100 米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？例 12、 有 4 名男生，5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1） 甲不在中间也不在两端；（2） 甲、乙两人必须排在两端；（3） 男、女生分别排在一起；（4） 男、女相同（5） 甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定；三、 练习题1、 若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法？2、 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有几种不同的分配方案？3、 将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要每个盒子至少放一个球，共有几种方法？4、 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案有多少种？5、 从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中 A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有多少种？6、 5 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少 1 本，不同分法有多少种？7、 市内某公共汽车站有 10 个侯车位， （成一排） ，现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有多少种？。