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(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高).pdf

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    • 乘法公式(提高) 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义; 2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义, 能利用公式进行乘法运算; 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式:22()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 要点诠释:在这里,ba,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项” ,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化:如(35 )(35 )xyxy (3)指数变化:如3232()()mnmn (4)符号变化:如()()ab ab  (5)增项变化:如()()mnp mnp (6)增因式变化:如2244()()()()ab ab abab 要点二、完全平方公式 完全平方公式:2222abaabb 2222)(bababa 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形: 2222ababab22abab 224ababab 要点三、添括号法则 添括号时, 如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查 添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()xp xqxpq xpq;2233()()ab aabbab; 33223()33abaa babb;2222()222abcabcabacbc. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2+1)(221)( 421)(821)(1621)(3221)+1. 【思路点拨】 本题直接计算比较复杂, 但观察可以发现 2+1 与 2-1,221与221,421与421等能够构成平方差,只需在前面添上因式(2-1) ,即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解:原式=(2-1)(2+1)( 221)(421)(821)(1621)(3221) +1 =(221)( 221)( 421)(821)(1621)(3221)+1 =642-1+1=642. 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题,不妨先仔细观察,看是否有规律,然后去解决,会事半功倍,提高解题能力. 举一反三: 【变式 1】计算: (1)2(3)(9)(3)xxx (2)(a+b)( a-b)( 22ab)( 44ab) 【答案】 解:(1)原式=[(x+3)(x-3)](29x )=(29x )(29x )=481x . (2)原式=[(a+b)( a-b)]( 22ab)( 44ab) =[(22ab)( 22ab)]( 44ab) =(44ab)( 44ab)=88ab. 【变式 2】 (2015•内江) (1)填空: (a﹣b) (a+b)= ; (a﹣b) (a2+ab+b2)= ; (a﹣b) (a3+a2b+ab2+b3)= . (2)猜想: (a﹣b) (an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1)= (其中 n 为正整数,且 n≥2) . (3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2. 【答案】 解: (1) (a﹣b) (a+b)=a2﹣b2; (a﹣b) (a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3; (a﹣b) (a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4; 故答案为:a2﹣b2,a3﹣b3,a4﹣b4; (2)由(1)的规律可得: 原式=an﹣bn, 故答案为:an﹣bn; (3)29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=(2﹣1) (28+26+24+22+2)=342. 2、 (2014 春•牟定县校级期末)新实验中学校园正在进行绿地改造,原有一正方形绿地,现将它每边都增加 3 米,面积则增加了 63 平方米,问原绿地的边长为多少?原绿地的面积又为多少? 【答案与解析】 解:设原绿地的边长为 x 米,则新绿地的边长为 x+3 米, 根据题意得, (x+3)2﹣x2=63, 由平方差公式得, (x+3+x) (x+3﹣x)=63, 解得,x=9; ∴原绿地的面积为:9×9=81(平方米) ; 答:原绿地的边长为 9 米,原绿地的面积为 81 平方米. 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用,两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差; (a+b) (a﹣b)=a2﹣b2,熟练应用平方差公式可简化计算. 举一反三: 【变式】解不等式组:(3)(3)(2)1,(25)( 25)4 (1).xxx xxxxx 【答案】 解: (3)(3)(2)1,(25)( 25)4 (1).xxx xxxxx①② 由①得22921xxx,210x ,5x . 由②得2225(2 )44xxx,2225444xxx, 425x ,6.25x . ∴ 不等式组的解集为6.25x . 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算: (1)2(23)ab; (2)(23 )(23 )abc abc. 【思路点拨】 (1)是一个三项式的平方,不能直接运用完全平方公式,可以用加法结合律将23ab化成(23)ab,看成a与(23)b和的平方再应用公式; (2)是两个三项式相乘,其中a与a完全相同,2b,3c与2b,3c分别互为相反数, 与平方差公式特征一致,可适当添加括号, 使完全相同部分作为 “一项” , 互为相反数的部分括在一起作为 “另一项” . 【答案与解析】 解: (1)原式222[(23)]2 (23)(23)abaabb 22464129aababb 22446129ababab. (2)原式22222[(23 )][(23 )](23 )4129abcabcabcabbcc. 【总结升华】配成公式中的“a” “b”的形式再进行计算. 举一反三: 【变式】运用乘法公式计算: (1)abcabc  ; (2)211 2xyyx ; (3)2xyz; (4)231 1 23abab. 【答案】 解:(1) abcabc  =[a-(b-c)][ a+(b-c)] =222222abcabbcc =2222abbcc. (2) 211 2xyyx  =[2x+(y-1)][2x-(y-1)] =222221421xyxyy =22421xyy. (3)22222xyzxyzxyxy zz =222222xxyyxzyzz. (4) 231 1 23abab=2231ab =-22[(23 )2(23 ) 1 ]abab+-++ =- 22(2 )2 233461aabbab =224129461aabbab---++- 4、已知△ABC 的三边长a、b、c满足2220abcabbcac,试判断△ABC的形状. 【思路点拨】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系. 【答案与解析】 解:∵ 2220abcabbcac, ∴ 2222222220abcabbcac, 即222222(2)(2)(2)0aabbbbccaacc. 即222()()()0abbcac. ∴ 0ab,0bc,0ac, 即abc,∴ △ABC 为等边三角形. 【总结升华】式子2220abcabbcac体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,但差着2ab中的 2 倍,故想到等式两边同时扩大 2 倍,从而得到结论. 举一反三: 【变式】多项式222225xxyyy的最小值是____________. 【答案】4; 提示:2222222514xxyyyxyy,所以最小值为 4. 【巩固练习】 一.选择题 1.下列各多项式相乘,可以用平方差公式的有( ). ①2552abxxab ②axyaxy ③abcabc ④mnmn A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 若214xkx是完全平方式,则k值是( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 1 3.下面计算77abab  正确的是( ). A.原式=(-7+a+b)[-7-(a+b)]=-27-2ab B.原式=(-7+a+b)[-7-(a+b)]=27+2ab C.原式=[-(7-a-b)][-(7+a+b)]=27-2ab D.原式=[-(7+a)+b][-(7+a)-b]=227ab 4.(a+3)(2a+9)(a-3)的计算结果是( ). A.4a+81 B.-4a-81 C. 4a-81 D.81-4a 5.下列式子不能成立的有( )个. ①22xyyx ②22224abab ③32abbaab ④ xyxyxyxy    ⑤22112xxx  A.1 B.2 C.3 D.4 6. (2015 春•开江县期末)计算 20152﹣2014×2016 的结果是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 二.填空题 7.多项式28xxk是一个完全平方式,则k=______. 8. 已知15aa,则221aa的结果是_______. 9. 若把代数式223xx化为2xmk的形式,其中m,k为常数,则m+k=_______. 10. (2015 春•深圳期末) 若 A= (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) +1, 则 A 的末位数字是 . 11.对于任意的正整数n,能整除代数式 31 3133nnnn的最小正整数是_______. 12. 如果221 221abab=63,那么a+b的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值. 22(1) 10199  2222(2)224mmm (3) ()()abc abc 2(4) (321)xy 14.(2015 春•成华区月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此 4、12、20 都是这种“神秘数”. (1)28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗?试说明理由; (2)试说明神秘数能被 4 整除; (3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗?试说明理由. 15. 已知:26,90,ababca求abc 的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B; 【解析】①,②,③可用平方差公式. 2. 【答案】B; 【解析】2221112224xxxkx ,所以k=±1. 3. 【答案】C; 4. 【答案】C; 【解析】(a+3)(2a+9)(a-3)=224(9)(9)81aaa. 5. 【答案】B; 【解析】②,③不成立. 6. 【答案】D; 【解析】 解: 原式=20152﹣ (2015﹣1) × (2015+1) =20152﹣ (20152﹣1) =20152﹣20152+1=1, 故选 D. 二.填空题 7. 【答案】16; 【解析】22282 44xxkxx ,∴k=16. 8. 【答案】23; 【解析】21()25,aa222211225,23aaaa. 9. 【答案】-3; 【解析】2222321 1 314xxxxx  ,m=1,k=-4. 10.【答案】6; 【解析】解: (2+1) (22+1) (24+1) (28+1)+1 =(2﹣1) (2+1) (22+1) (24+1) (28+1)+1, =(22﹣1) (22+1) (24+1) (28+1)+1, =(24﹣1) (24+1) (28+1)+1, =(28﹣1) (28+1)+1, =(216﹣1) (216+1)+1, =232﹣1+1, 因为 232的末位数字是 6,所以原式末位数字是 6. 故答案为:6. 11.【答案】10; 【解析】利用平方差公式化简得 1021n ,故能被 10 整除. 12.【答案】±4; 【解析】221 221abab222163, 228,4ababab   . 三.解答题 13.【解析】 解: (1)原式=2210011001=100002001 100002001=20002  (2)原式=  22222484441632256mmmmm (3)原式=222222abcabcbc (4)原式= 222(321)321 2 322 32 2xyxyxyxy     229412641xyxyxy 14.【解析】 解: (1)是,理由如下: ∵ 28=82﹣62,2012=5042﹣5022, ∴ 28 是“神秘数” ;2012 是“神秘数” ; (2) “神秘数”是 4 的倍数.理由如下: (2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k) (2k+2﹣2k)=2(4k+2)=4(2k+1) , ∴ “神秘数”是 4 的倍数; (3)设两个连续的奇数为:2k+1,2k﹣1,则 (2k+1)2﹣(2k﹣1)2=8k, 而由(2)知“神秘数”是 4 的倍数,但不是 8 的倍数, 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数. 15.【解析】 解:∵6,ab∴6ab ∵290,abca ∴2690,bbca ∴2230,bca ∴3,bca  ∴ 363,3ac  ∴ 3333abc   . 。

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